Hiperbolikus függvények

A hiperbolikus függvények a matematikában a szögfüggvényekhez hasonló függvények.

A trigonometrikus és hiperbolikus függvények, illetve ezek inverzei

A két alapvető hiperbolikus függvény a hiperbolikus szinusz (jelölése sh vagy sinh) és a hiperbolikus koszinusz (jelölése ch vagy cosh), melyekből levezethető a hiperbolikus tangens (jelölése th vagy tanh) függvény a szögfüggvényekhez hasonlóan. Ugyanúgy számolható belőlük a hiperbolikus szekáns és a hiperbolikus koszekáns, mint trigonometrikus megfelelőikből a szekáns és a koszekáns. Ezeknek a függvényeknek az inverzei az area hiperbolikus függvények. Ezt az adott függvény neve elé tett area szó jelzi. Mindezek a függvények egyes szerzőknél latin nevükkel szerepelnek, mint sinus hyperbolicus, cosinus hyperbolicus, tangens hyperbolicus, cotangens hyperbolicus, secans hyperbolicus, cosecans hyperbolicus; illetve az area függvények: area sinus hyperbolicus, area cosinus hyperbolicus, area tangens hyperbolicus, area cotangens hyperbolicus, area secans hyperbolicus, area cosecans hyperbolicus.

Ahogy a (cos t, sin t) pontok egy kört határoznak meg, az az egységkört, úgy a (ch t, sh t) pontok egy hiperbola jobb oldali félgörbéjét írják le, mely az egységhiperbolához tartozik. A kapcsolat a komplex számsíkon még nyilvánvalóbb, mivel . Így például . A komplex hiperbolikus szinusz és hiperbolikus koszinusz az egész komplex számsíkon folytonosan definiált, sőt holomorf függvények. A többi hiperbolikus függvénynek pólusai vannak a képzetes tengelyen.

A hiperbolikus függvények azért is fontosak, mert több lineáris differenciálegyenlet megoldását fel lehet írni a használatukkal. Ilyen például derékszögű koordináta-rendszerben a súlya alatt lelógó kábel egyenlete. Alkalmazhatóak ezen kívül a Laplace-egyenlet megoldásánál, amely a fizika több területén – az elektromágnesség elméletében, hőátadásban, folyadékok dinamikájában és a speciális relativitáselméletben – is fontos.

DefiníciókSzerkesztés

 
Az origóbóél kiinduló sugár az   hiperbolát az   pontban metszi, ahol   a sugár, az  -tengelyre vett tükörképe és a hiperbola által közrezárt terület

Az egységhiperbola egyenlete  , így a két alapvető hiperbolikus függvény, a hiperbolikus koszinusz és a hiperbolikus szinusz:

 

Hasonló kapcsolatban állnak a trigonometrikus függvények az egységkörrel:

 

Itt   az egyenes és a hiperbola metszéspontjának   koordinátája, és   az egyenes és a hiperbola metszéspontjának   koordinátája. A   értéke az   koordináta az   helyen, azaz az egyenes meredeksége.

Ha a területet integrálással számítjuk ki, akkor az exponenciális ábrázoláshoz jutunk, ami használható ekvivalens definícióként:

 
 

Ez alapján a hatványsorok:

 

Itt   az   szám faktoriálisa, vagyis az első   pozitív egész szám szorzata. Szemben a   és a   hatványsorával, itt nincsenek negatív együtthatók.

TulajdonságokSzerkesztés

sh és chSzerkesztés

  • Minden valós számra   és   valós.
  • A valós   függvény értékkészlete az összes valós szám; a valós   értékkészletébe az egynél nem kisebb valós számok tartoznak.
  • A valós   függvény szigorúan monoton nő, és a nulla helyen inflexiós pontja van, ahol nullhelye is van.
  • A valós   szigorúan monoton csökken az   intervallumon, és szigorúan monoton nő az   intervallumon. Globális minimumát az   helyen éri el.
  • A valós   függvény aszimptotikus függvényei   és  . A valós   függvény aszimptotikus függvényei   és  .
  • Mivel  , azért a komplex hiperbolikus függvénytulajdonságok a valós függvényekre is teljesülnek:
  • Az   függvény páratlan, az   függvény páros.
  • A függvények periodikusak, periódusuk  . Ez a valós függvényeken nem látszik, mivel a periódus tisztán képzetes; tehát a valós függvények nem periodikusak.
  • A következő szakaszok további összefüggéseket mutatnak be.

th és cthSzerkesztés

  • Minden valós számra   és minden nullától különböző valós számra   valós. A   függvény nem értelmezett nullában, ahol pólusa van.
  • A valós   értékkészlete  , a valós   függvényé  .
  • A valós   függvénynek az   helyen nullhelye van, ami inflexiós pont is.
  • A valós   függvény szigorúan monoton nő;   szigorúan monoton csökken, ha  , és szigorúan monoton csökken, ha  
  • Nem periodikus, páratlan függvények.
  • A valós   aszimptotikus függvényei   és  . A valós   függvény aszimptotikus függvényei   és  

sech és cschSzerkesztés

  • Minden valós számra   és minden nullától különböző valós számra   valós. A   függvény nem értelmezett nullában, ahol pólusa van.
  • A valós   függvény értékkészlete  ; a valós   függvényé  .
  • A valós   függvény szigorúan monoton nő, ha  , és szigorúan monoton csökken, ha  . A valós   függvény szigorúan monoton csökken, ha  , és szigorúan monoton csökken, ha  .
  • Nem periodikusak.   páros,   páratlan.
  • Mindkét függvénynek aszimptotája  , ha  .
  • A valós   függvény maximumát az   pontban éri el. a valós   függvénynek nincsenek szélsőértékei.
  • A valós   függvény inflexiós pontja az   helyen vannak. A valós   függvénynek nincsenek inflexiós pontjai.

Algebrai összefüggésekSzerkesztés

 
sh, ch és th
 
csch, sch és cth

A hiperbolikus függvények:

  • Hiperbolikus szinusz:
 
  • Hiperbolikus koszinusz:
 
  • Hiperbolikus tangens:
 
  • Hiperbolikus kotangens:
 
  • Hiperbolikus szekáns:
 
  • Hiperbolikus koszekáns:
 

ahol   az imaginárius egység.

A fenti definíciókban a komplex alakok az Euler-formulából adódnak.

 
  (Euler-azonosság)
 
 
  (hiperbolikus egyenlet, a gemotriai definícióból közvetlenül adódik)

Szimmetria összefüggésekSzerkesztés

 
 

Innen:

 
 
 
 

Látható, hogy a ch x és sch x páros, a többi páratlan függvény.

 ,

így a többi hiperbolikus függvény is periodikus   szerint.

Addíciós tételekSzerkesztés

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Speciálisan, ha  :

 

illetve, ha  :

 

Összegzés:

 

HatványokSzerkesztés

 

További összefüggésekSzerkesztés

 
 
 
 , ahol   az aranymetszés.

A hiperbolikus kotangensnek két fixpontja van, azaz két hely, ami megegyezik az ott felvett értékkel:

 , ahol   ((A085984 sorozat az OEIS-ben))

Komplex argumentumokSzerkesztés

Ha   valós és képzetes rész, akkor teljesül, hogy:

 

Például a harmadik és a negyedik egyenlőség levezethető a következőképpen:

Ha  , akkor:

 

Az együtthatók összehasonlításával:

 

 
 
 
 
 

Kapcsolat a trigonometrikus függvényekkelSzerkesztés

A szögfüggvények és a hiperbolikus függvények közötti kapcsolat:

 

ahol   a Gudermann-függvény.

Átszámítási táblázatSzerkesztés

Függvény            
             
             
             
             
             
             

DeriváltakSzerkesztés

 
 
 
 
 
 

A tangens hiperbolicus  -edik deriváltja

 

ahol An,k Euler-számok.

 

IntegrálokSzerkesztés

 
 
 
 
 

A fenti kifejezésekben C az integrálás állandója.

Improprius integrál:

 

DifferenciálegyenletekSzerkesztés

A   és   függvények az

 

lineáris differenciálegyenlet alaprendszerét, más néven megoldásbázisát alkotják, ugyanúgy mint az   és   függvények. Ha a két   függvény számára kezdeti feltételként előírjuk, hogy  ,  és  ,  legyen, akkor ezzel a   és   függvényeket választottuk. Ezeket a tulajdonságokat a definícióból is bizonyítani lehet.

A   függvény megoldja a következő differenciálegyenleteket

  vagy
 

az   és   kezdeti feltételekkel.

Taylor-sorba fejtésSzerkesztés

A hiperbolikus függvények Taylor-sorai:

 
 
 
  (Laurent-sor)
 
  (Laurent-sor)

ahol

  az n-ik Bernoulli-szám
  az n-ik Euler-szám
 
 

A tangens hyperbolicus Taylor-sora így kezdődik:

 

ahol

  az n-ik Bernoulli-szám. A konvergenciasugár  .

Végtelen szorzatkéntSzerkesztés

Legyen  . Ekkor minden komplex  -re:

 
 

LánctörtkéntSzerkesztés

Johann Heinrich Lambert képlete:

 

BijektivitásSzerkesztés

shSzerkesztés

Definiáljuk a következő halmazokat a komplex számokon:

 
 

Ekkor az   függvény bijektíven leképezi az   sávokat a   halmazokra.

chSzerkesztés

Definiáljuk a következő halmazokat a komplex számokon:

 
 

Ekkor az   függvény bijektíven leképezi az   sávokat a   halmazokra.

Inverz függvényekSzerkesztés

A hiperbolikus függvények inverz függvényeit áreafüggvényeknek vagy inverz hiperbolikus függvényeknek nevezzük:

  • áreaszinusz hiperbolikus és áreakoszinusz hiperbolikus
  • áreatangens hiperbolikus és áreakotangens hiperbolikus
  • áreaszekáns hiperbolikus és áreakoszekáns hiperbolikus

Az inverz függvényeket csak olyan leszűkítéseken lehet definiálni, ahol az adott függvény egyértelmű. Így a szinusz hiperbolikust nem kell leszűkíteni, de például a koszinusz hiperbolikust igen: a koszinusz hipőerbolikust az   korlátozva definiálják az área koszinusz hiperbolikust. Elemi módszerekkel kiszámolható, hogy:

 .
 .

A tangens hiperbolicus bijektív   függvény. Inverz függvénye az area tangens hiperbolicus, ami az   intervallumon értelmezett:

 

Az area cotangens hiperbolicus:

 

a (-1,1)</math> intervallumon kívül értelmezve.

Hasonlóságok a szögfüggvényekkelSzerkesztés

 
Kör és hiperbola kapcsolata

Az x y = 1 hiperbola x > 1 tartományban lévő tetszőleges pontja hiperbolikus háromszöget határoz meg, amelyben a hiperbolikus szög melletti oldal a ch értékkel egyenlő, míg a szöggel szemben fekvő oldal az sh-val. Azonban mivel a hiperbola (1,1) pontja az origótól √2 távolságra van, ezért az oldalak hosszát 1/√2 tényezővel kell szoroznunk, hogy a helyes eredményt kapjuk.

Mint ahogy a (cos x, sin x) pontok egy kört ( x2 + y2 = 1) határoznak meg, a (ch x, sh x) pontok az x² - y² = 1 egyenlő szárú hiperbola jobb oldali görbéjét írják le. Ez ezen a könnyen ellenőrizhető azonosságon:

 

és azon alapul, hogy ch x > 0 minden x-re.

A hiperbolikus függvények periodikusak   komplex periódus szerint.

A x paraméter nem a kör középponti szöge, mint a szögfüggvényeknél, hanem a hiperbolikus „szög”, amelynek értéke a kétszerese annak a területnek, melyet az x tengely, a hiperbola és egy, a hiperbola (ch x, sh x) pontjából az origóba húzott egyenes határol.

A hiperbolikus függvényekre igen sok olyan azonosság érvényes, melyek hasonlóak a szögfüggvények azonosságaihoz. Az Osborne-szabály kimondja, hogy minden trigonometrikus azonosságot egy analóg hiperbolikus azonossággá lehet alakítani a következőképpen:

  • lecseréljük a szögfüggvényt a hiperbolikus megfelelőjével és
  • az sh * sh kifejezés előjelét megváltoztatjuk.

Néhány példa:

 
 
 

A „kétszeres szög” képletek:

 
 

és a „fél-szög” képletek:

  Megjegyzés: Ez megfelel a szögfüggvény párjának.
  Megjegyzés: Ez megfelel a szögfüggvény párja szorozva (-1)-gyel.

Az   deriváltja  , a   deriváltja pedig  .

Numerikus számításokSzerkesztés

A tangens hyperbolicus számítható a   képlettel. Ez azonban nagy, illetve kis abszolútértékű helyeken gondot okoz:

  • Nagy értékeknél túlcsordulás jön létre, habár az eredmény nagysága ezt nem indokolja
  • Kis értékek esetén vészes kiegyszerűsödés adódik, így az eredmény pontatlan lesz.

Ekkor a következő közelítések alkalmazhatók:

  •   akkora pozitív szám, hogy  . Ekkor

 , ahol   a szignifikáns számjegyek száma az adott számtípusnál, például double esetén 16.

  •   nagy abszolútértékű negatív szám úgy, hogy  , ahol   szerepe a nagy pozitív számnál szereplő  -hoz hasonló. Ekkor az előző esethez hasonlóan  .
  •   abszolútértékben kicsi. Például, ha  , akkor  ,
ahol   jól közelíthető Taylor-sorának első néhány tagjával:

 

  • A többi hely esetén marad az eredeti képlet:
 

AlkalmazásokSzerkesztés

Az   differenciálegyenlet megoldásai az

 , ahol  

alakú függvények.

Egy csak saját súlya által terhelt homogén lánc alakját hiperbolikus koszinusz függvénnyel lehet leírni. Ezt az alakot láncgörbének vagy katenoidnak hívják.

Egy x irányú Lorentz-transzformáció   rapiditása segítségével a transzformáció mátrixa így írható le:

 

Látható a hasonlóság a forgatómátrixszal, amivel a négydimenziós Lorentz-transzformációk és a forgatások közötti hasonlóság is felismerhető.

A hiperbolikus szinusz és koszinusz a kozmológiában is előfordul. Egy lapos univerzumban, mely lényegében csak anyagot és sötét energiát tartalmaz (és ezáltal a mi univerzumunk közelítése), a skálafaktorok növekedését leíró összefüggés:

 ,

ahol  karakterisztikus időskála;   aktuális Hubble-paraméter és   a sötét energia sűrűségparamétere. Az anyag sűrűségparaméterének időbeli függőségénél a koszinusz hiperbolikusz bukkan fel:

 .

A tangens és a cotangens hyperbolicus használható arra, hogy az eltelt idő függvényében kiszámítsuk a légellenállásos esés sebességét, illetve turbulens áramlásban esik a tárgy (Newton-súrlódás). A koordinátarendszert úgy rögzítjük, hogy a helytengely felfelé mutasson, tehát a térbeli mozgás tükörképeként. A sebesség az   differenciálegyenletből számítható, ahol   nehézségi gyorsulás,   pozitív konstans, melynek mértékegysége  . A végsebesség  , ami a sebesség   határértéke. Teljesül továbbá, hogy:

  • az esés vagy hajítás kezdeti sebessége kisebb, mint a végsebesség:  , ahol  
  • hajítás esetén a kezdősebesség nagyobb, mint a végsebesség:  , ahol  

A speciális relativitáselméletben a   sebesség és a   rapiditás összefüggése  , ahol   a fénysebesség.

A kvantummechanikában egy kétállapotú rendszert ért termikus hatást írja le: Legyen   az állapotokat ért összhatás, és   az állapotok közötti energiakülönbség. Így a hatásszámok különbsége  , ahol   Boltzmann-állandó, és   abszolút hőmérséklet.

Paramágnes mágnesesezésének leírásához fontos a Brillouin-függvény:

 

A kozmológiában Egy lapos univerzumban, mely lényegében csak anyagot és sötét energiát tartalmaz (és ezáltal a mi univerzumunk közelítése), a Hubble-paraméter időbeli változását leíró összefüggés:  , ahol   karakterisztikus időskála, és   a Hubble-paraméter határértéke   esetén;   a Hubble-paraméter kiinduláskori értéke, és   a sötét energia sűrűségparamétere. A sötét energia sűrűségparaméterét pedig az  . összefüggés írja le.

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

Külső hivatkozásokSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés

FordításSzerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Hyperbelfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben az Areafunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.