Lineáris differenciálegyenlet

A közönséges lineáris differenciálegyenlet és a közönséges lineáris differenciálegyenlet-rendszer a közönséges differenciálegyenletek fontos osztálya.

Definíció

Adva legyen az $I\subset \mathbb {R}$ intervallum, a rajta értelmezett $f:I\times (\mathbb {R} ^{m})^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ és $g:I\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ valós értékű függvény. Ekkor az

$y^{(n)}=f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)+g(x)$

egyenlet, ahol $x\in I,\ y,y',\ldots ,y^{(n)}\in \mathbb {R} ^{m}$, n-edrendű, m egyenlőséget tartalmazó (közönséges) lineáris differenciálegyenlet-rendszer, ha minden rögzített $x\in I$-re az

$(\mathbb {R} ^{m})^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m},(a_{0},\ldots ,a_{n-1})\mapsto f(x,a_{0},\ldots ,a_{n-1})$

leképezés lineáris.

Ha m=1, akkor (közönséges) lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. Homogén, ha g(x) azonosan nulla, egyébként inhomogén.

A következőkben f(x)-et és g(x)-et folytonosnak tételezzük fel. Ekkor a $y:I\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ n-szer differenciálható függvény az egyenletrendszer megoldása, ha

$y^{(n)}(x)=f\left(x,y(x),\ldots ,y^{(n-1)}(x)\right)+g(x)$

teljesül minden $x\in I$-re. Ha $f$ nem függ az első változótól, akkor az egyenletrendszer állandó együtthatós.

Speciális esetei

Fontos speciális esetei:

• az m egyenletből álló elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszer:

$\ y'=A(x)y+b(x)\ ,$

ahol $A:I\rightarrow \mathbb {R} ^{m\times m}$ és $b:I\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ folytonos. A hozzá tartozó homogén egyenletrendszer

$\ y'=A(x)y\ .$

• az n-edrendű lineáris differenciálegyenlet:

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}(x)y^{(i)}=b(x)\ ,$

ahol $a_{i},b:I\rightarrow \mathbb {R}$ folytonos. A hozzá tartozó homogén egyenlet

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}(x)y^{(i)}=0\ .$

Ide tartoznak a további példák:

• Airy-féle differenciálegyenlet: $\ y''-\lambda xy=0$.
• Bessel-féle differenciálegyenlet: $\ x^{2}y''+xy'+(x^{2}-n^{2})y=0,\ n\in \mathbb {R}$.
• Csebisev-féle differenciálegyenlet: $\ (1-x^{2})y''-xy'+n^{2}y=0$.
• Euler-féle differenciálegyenlet: $\sum _{i=0}^{n}b_{i}(cx+d)^{i}y^{(i)}(x)=0$.
• Hermite-féle differenciálegyenlet: $\ y''-2xy'+2ny=0,\ n\in \mathbb {Z}$.
• hipergeometrikus differenciálegyenlet: $\ x(x-1)y''+\left((\alpha +\beta +1)x-\gamma \right)y'+\alpha \beta y=0,\ \alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {R}$.
• Laguerre-féle differenciálegyenlet: $x\,y''+(1-x)\,y'+ny=0,\ n\in \mathbb {N} _{0}$.
• Legendre-féle differenciálegyenlet: $\ (1-x^{2})y''-2xy'+n(n+1)y=0$.

Globális létezés és egyértelműség

Jelöljünk ki egy tetszőles $x_{0}\in I$ és egy $y_{0},\ldots ,y_{n-1}\in \mathbb {R} ^{m}$ pontot. Kezdetiérték-feladatnak nevezzük azt a feladatot, ami a differenciálegyenlet egy olyan megoldását keresi, ami átmegy ezen a ponton.

Az

$\left\{{\begin{array}{l}y^{(n)}=f(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)})+g(x)\ \\\ y^{(i)}(x_{0})=y_{i}\ ,\ i=0,\ldots ,n-1\\\end{array}}\right.$ kezdetiérték-feladatnak létezik egy, és csakis egy $y:I\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ megoldása a Picard–Lindelöf-tételek szerint.

A megoldások struktúrája

Homogén rendszerek

A homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszerek megoldásai vektorteret alkotnak. Ez azt jelenti, hogy két megoldás lineáris kombinációja szintén megoldás. Az n-edrendű homogén lineáris differenciálegyenlet és az n egyenletből álló elsőrendű homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer megoldásainak vektortere n dimenziós. A megoldások vektorterének tetszőleges bázisát alaprendszernek nevezzük. Egy alaprendszert oszlopokként mátrixba téve kapjuk a Vronszkij-determinánst.

Inhomogén rendszerek

Az inhomogén rendszerhez tartozó homogén rendszer egy alaprendszerének és az inhomogén rendszer egy y_p megoldásnak ismeretében az inhomogén rendszer összes megoldása kifejezhető:

$\{y=y_{h}+y_{p}\ |\ y_{h}\$ a homogén rendszer megoldása $\}$

Ezt az y_p megoldást partikuláris megoldásnak nevezzük.

Ha már megvan az alaprendszer, akkor tehát elég egy partikuláris megoldást találni. Egy általános módszer a konstans variációja, de speciális esetekben más módszerekkel hamarabb célt érünk. A megoldások hatványsor alakjában is kereshetők.

A megoldást megkönnyítheti egy alkalmasan választott transzformáció. Ha például ismert az inhomogén tag Laplace-transzformáltja, akkor abból meg lehet kapni a megoldás Laplace-transzformáltját. Ebből inverz transzformációval visszakapható az inhomogén rendszer partikuláris megoldása.

Ha az elsőrendű differenciálegyenlet-rendszer állandó együtthatós, akkor az egyenletrendszer alaprendszere megkapható a mátrix exponenciálisával, ami a Jordan-normálalakkal számítható.

Periodikus rendszerek

Legyen ω az $A:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{m\times m}$ együtthatómátrix és a $b:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ tag közös periódusa. Keressük az $\ y'=A(x)y+b(x)$ rendszer ω szerint periodikus megoldását. Általában nem tudunk explicit alaprendszert konstruálni, de struktúráját ismerjük Floquet tételéből:

Az $\ y'(x)=A(x)y(x)$ rendszer Φ alaprendszere $\ \Phi (x)=P(x)\exp(xR)$ alakú, ahol $P:\mathbb {R} \rightarrow GL(m;\mathbb {C} )$ folytonosan differenciálható, és ω szerint periodikus, és a $R\in \mathbb {C} ^{m\times m}$ mátrix konstans.

Már csak az a kérdés, hogy léteznek-e ω szerint periodikus megoldások. Jelölje $L_{\omega }:=\{y\in C^{1}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{m})\ |\ y'(x)=A(x)y(x)\ {\textrm {und}}\ y\ \omega {\textrm {-periodisch}}\}$ a homogén egyenlet ω szerint periodikus megoldásainak halmazát!

Ha Φ a homogén $y'=A(x)y$ rendszer alaprendszere, akkor $\Phi (\omega )\Phi (0)^{-1}$ sajátértékei a homogén rendszer karakterisztikus multiplikátorai. A karakterisztikus multiplikátorok nem függnek az alaprendszer választásától. Egy tétel szerint a homogén $y'=A(x)y$ rendszernek akkor és csak akkor vannak nem triviális ω szerint periodikus megoldásai, ha 1 karakterisztikus multiplikátora a homogén rendszernek.

Inhomogén esetben tekintjük a $y'=-A(x)^{T}y$ egyenlet ω szerint periodikus megoldásait:

$L_{\omega }^{\star }:=\{y\in C^{1}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{m})\ |\ y'(x)=-A(x)^{T}y(x)\ {\textrm {und}}\ y\ \omega {\textrm {-periodisch}}\}\ .$

Ekkor a $y'=A(x)y+b(x)$ rendszernek akkor és csak akkor van ω szerint periodikus nem triviális megoldása, ha $\int _{0}^{\omega }\langle y(s),b(s)\rangle {\rm {d}}s=0$ teljesül minden $y\in L_{\omega }^{\star }$-ra.

Belátható, hogy $\dim L_{\omega }=\dim L_{\omega }^{\star }$. A $y'=A(x)y+b(x)$ rendszernek tehát minden b-re van ω szerint periodikus megoldása, függetlenül $y'=A(x)y$ karakterisztikus multiplikátoraitól.

Források

• Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. Gruyter - de Gruyter Lehrbücher, Berlin/New York 1995, ISBN 3-11-014582-0.
• Carmen Chicone: Ordinary Differential Equations with Applications. 2. Auflage. Texts in Applied Mathematics 34, Springer-Verlag 2006, ISBN 0-387-30769-9.

Kapcsolódó szócikk

• George William Hill