Főmenü megnyitása

Jordan-féle normálforma

(Jordan-normálalak szócikkből átirányítva)

A lineáris algebrában minden algebrailag zárt test feletti négyzetes mátrix (ahol a mátrix sajátértékei test elemei) egy adott normálalakra hozható a bázis megváltoztatásával. Ebben a normálformában a főátlóban és a főátló felett levő elemek kivételével minden elem 0, tehát a mátrix majdnem diagonális. A mátrixoknak ezt az alakját Camille Jordanról nevezték el.

Tartalomjegyzék

Jordan-mátrixSzerkesztés

Egy   test feletti Jordan-blokk olyan n×n-es mátrix, ahol a főátlóban minden elem   , a főátló felett 1-esek állnak, a többi elem pedig 0.   a Jordan-blokk sajátértéke.

 

A Jordan-mátrix olyan négyzetes mátrix, amely főátlójában Jordan-blokkok állnak, a többi elem pedig 0.

 

A   mátrix   Jordan blokkok direkt szorzata.

Jelölése:   vagy   egy olyan  × -s Jordan-mátrix, amelynek első tömbje   , második tömbje   , ... , i-edik tömbje   .

Például a következő 9×9-es Jordan-mátrixnak van egy 3×3-as 0 sajátértékű blokkja, két 2×2-es 3 sajátértékű blokkja és egy 2×2-es 5 sajátértékű blokkja:

 

Jelölése:   vagy  .

Két Jordan-mátrix hasonló, ha ugyanazokból a Jordan-blokkokból állnak (a blokkok elhelyezkedésétől függetlenül).

A Jordan-normálforma tulajdonságaiSzerkesztés

Bármely   test elemeiből képzett n×n-es   mátrix hasonló egy   test feletti n×n-es   Jordan-mátrixhoz. Tehát létezik   invertálható mátrix, melyre   .  -t az   mátrix Jordan-normálformájának nevezzük.

A következő tulajdonságokat állapíthatjuk meg:

  •   sajátértékei a   mátrix főátlójában álló elemek.
  • Egy adott   sajátérték geometriai multiplicitása Ker( ) dimenziója (ahol   egységmátrix), és ennyi a  -hez tartozó Jordan-blokkok száma.
  • Egy adott   sajátértékhez tartozó összes Jordan-blokk méretének összege   algebrai multiplicitása.
  •   akkor és csak akkor diagonalizálható, ha bármely   sajátértékének algebrai és geometriai multiplicitása megegyezik.

Egy   mátrix Jordan-normálformájának meghatározásához nem elegendő ismerni a sajátértékeinek algebrai és geometriai multiplicitását. Feltéve, hogy egy   sajátértékhez tartozó   algebrai multiplicitás ismert, a Jordan-normálforma felépítését   hatványok rangjának vizsgálatával határozhatjuk meg: Tegyük fel, hogy egy n×n-es   mátrixnak egyetlen sajátértéke  . Tehát  . A legkisebb   egész, melyre

 

a legnagyobb Jordan-blokk mérete   Jordan-normálformájában.

 

rangja a   méretű Jordan-blokkok száma. Hasonlóan

 

rangja a   méretű Jordan-blokkok számának kétszeresének és a   méretű Jordan-blokkok számának összege. Ezt a módszert ismételve megkapjuk   Jordan-normálformájának felépítését. Több sajátérték esetén hasonlóan járhatunk el.

Ezt felhasználva belátható, hogy ha   és     mátrix Jordan-normálformái, akkor   és   hasonló.

HatványozásSzerkesztés

Ha   egy természetes szám akkor egy mátrix Jordan-normálformájának  -adik hatványa a következő:

 

Tehát hatványozás után minden egyes Jordan-blokkból egy felső háromszögmátrix lesz. A felső háromszögmátrixok főátlójában  , a főátló felett  , ... , végül   szerepel, ha   a   sajátértékhez tartozó (l+1)×(l+1)-es Jordan-tömb.

(Megjegyzés:  , ha  .)

Például:  

 

Példa a Jordan-normálforma és az áttérési mátrix kiszámításáraSzerkesztés

Legyen

 

  mátrix karakterisztikus polinomja:

 

Tehát az algebrai multiplicitás szerint a sajátértékei 1, 2, 4 és 4. A hozzájuk tartozó sajátvektorok az   egyenlet megoldásával kiszámíthatóak:

 

Tehát a mátrix Jordan-normálformája:

 

A   áttérési mátrix (melyre  ) oszlopvektorai a sajátvektorok (p=1, q=1, illetve  -nál s=1, t=0,  -nél s=0, t=1 választással):

 

Ellenőrizhető az eredmény helyessége:

 

Ha megváltoztatjuk a sajátvektorok sorrendjét, azaz a   ,   ,   sorrendet (  és   egymás mellett marad), akkor megváltozik a Jordan-tömbök sorrendje a Jordan-normálformában.

ForrásokSzerkesztés

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

További információkSzerkesztés