Gudermann-függvény

analitikai függvény

A matematikában a Gudermann-függvény a komplex számok használata nélkül összekapcsolja a trigonometrikus és a hiperbolikus függvényeket. A kifejezésekben a Gudermann-függvény belső függvényként szerepel, majd az általa visszaadott értékre alkalmazva a trigonometrikus függvényt hiperbolikus függvényhez jutunk.

A Gudermann-függvény a valós számokon

DefinícióSzerkesztés

Valós számokon a Gudermann-függvény:

 

Elvégezve a   helyettesítéseket, és ráeresztve a   differenciálokat az integrál átalakítható:

 

Az explicit képlet alapján felismerhető, hogy a   értéke skalár a hiperbolikus függvények számára. Az összes további kifejezésben a szögfüggvények esetén szögről, a hiperbolikus függvényeknél skalárról esik szó. Az exponenciális függvényre megoldva

 

Ebből megkaphatjuk az összefüöggést a félszögre:

 

A (2)-es egyenlet egyszerűsített ábrázolása a Gudermann-függvény központi kapcsolata, mely megteremti az összefüggést egy szögfüggvény szöge és egy hiperbolikus függvény skalárja között. Ez alapján megadható a függvény ekvivalens definíciója:

 

Ez megfelel a Lambert által vizsgált összefüggésnek:

 

A félszögekről az egész szögekre való áttéréshez a (2)-es egyenletet be kell helyettesíteni a tangens kétszeres szög képletébe:

 

Ez az egyenlet szintén központi fontosságú; más szögfüggvények és hiperbolikus függvények használatával másként tudjuk kifejezni ezt a kapcsolatot. Így jutunk a következő egyenlethez:

 

ami szintén nagyon fontos. Az egyenlet megoldása a Gudermann-függvényre:  

Inverz függvényeSzerkesztés

Az inverz Gudermann-függvény megkapható a fenti egyenletek  -re való megoldásával. Kifejezéséhez logaritmusfüggvényre van szükség. Definiálható a fenti egyenletektől függetlenül is, de levezethető a Gudermann-függvényhez hasonlóan, habár a köztes lépésekhez bonyolult számításokra van szükség.

Ha  , akkor:

 

Az inverz Gudermann-függvény kiértékeléséhez a (4)-es egyenlet különösen alkalmas, különösen az értelmezési tartomány középső kétharmadában:  . A széleken a félszöges ábrázolást részesítik előnyben, mivel ekkor nem kell a szinusz és a koszinusz szélsőértékeinek közelében számolni, ezzel az eredmény pontosabb lehet. Hasonló módszerekkel végzik a Gudermann-függvény kiértékelését is.

További kapcsolatokSzerkesztés

A Gudermann-függvény és inverzének deriváltja:

 

Azonosság a komplex számításokhoz:

 

A szögfüggvények és a hiperbolikus függvények közötti kapcsolat:

 

AlkalmazásokSzerkesztés

A trigonometrikus és a hiperbolikus függvények közötti kapcsolat segítségével egyszerűsíthetők a matematikai képletek.

Egyszerű deriváltjaik miatt a Gudermann-függvény és inverze integrál helyettesítésre alkalmas. Gudermann erre használta őket.

A Mercator-vetületekben a   földrajzi szélességet az   észak-dél komponenssel a Gudermann-függvény kapcsolja össze. Az   földsugár az

 

egyenletekben fontos. Mivel a Mercator-vetület helyi torzítása a szélességi foktól úgy függ, mint  , az   relatív projekciós távolság az Egyenlítőtől az   szélességig az összes torzítás integrálja, az Egyenlítőtől  -ig:

 

A kiértékelés szempontjából az inverz Gudermann-függvény félszöges ábrázolása részesítendő előnyben.

A Gudermann-függvényhez hasonló, szigmoid alakú lefutás a tangens hiyperbolicusra és a logisztikus függvényre is jellemző.

TörténeteSzerkesztés

Habár nevét Christoph Gudermann (1798–1852) után kapta, már 1760 körül leírta a svájci Johann Heinrich Lambert, mikor a tangens lánctörtbe fejtése közben az e és a számokat próbálta egymással összefüggésbe hozni. Az általa transzcendens szögnek nevezett függvény nem váltotta be a hozzá fűzött reményeit, és nem sikerült az összefüggést nem triviális, analitikus alakban megadnia, vagy valahol máshol felhasználnia.

Christoph Gudermann 1830 körül elliptikus integrálokat vizsgált, és véletlenül bukkant rá a trigonometrikus és a hiperbolikus függvények nem triviális összefüggéséről, mely az összes trigonometrikus függvényre alkalmazható. Neki sikerült az összefüggést analitikus formába öntenie, azonban csak kevés figyelemre talált. A Gudermann-függvény elnevezést Arthur Cayley adta 1862-ben, amikor az elliptikus integrálok vizsgálata közben hivatkozott Gudermann munkásságára.

ForrásSzerkesztés

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Gudermannfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.