Lánctört

A lánctört egy olyan kifejezés, aminek alakja

$b_{0}+{\frac {a_{1}}{\displaystyle b_{1}+{\frac {a_{2}}{\displaystyle b_{2}+{\frac {a_{3}}{\displaystyle b_{3}+{\frac {a_{4}}{b_{4}+\cdots }}}}}}}}=b_{0}+{\frac {a_{1}|}{|b_{1}}}+{\frac {a_{2}|}{|b_{2}}}+{\frac {a_{3}|}{|b_{3}}}+{\frac {a_{4}|}{|b_{4}}}+\ldots$

Egy lánctört egyszerű, vagy reguláris, ha $a_{1}=a_{2}=\ldots =1$, egyébként általános. A lánctörtek vizsgálatakor gyakran elhagyják az egész értékű $b_{0}$-t.

Definíció

A lánctört fogalma

Egy lánctört egy

${\frac {a_{1}}{\displaystyle b_{1}+{\frac {a_{2}}{\displaystyle b_{2}+{\frac {a_{3}}{\displaystyle b_{3}+{\frac {a_{4}}{b_{4}+\cdots }}}}}}}}$ vagy ${\frac {1}{\displaystyle b_{1}+{\frac {1}{\displaystyle b_{2}+{\frac {1}{\displaystyle b_{3}+{\frac {1}{b_{4}+\cdots }}}}}}}}$

alakú emeletes tört. A két forma átalakítható egymásba, ezért elég a második típust tekinteni. Sőt, ilyenből van olyan is, amiben a nevezők mind pozitív egészek: negatív számok esetén az egész tört elé tesszük a negatív előjelet. Ezekkel a feltételekkel a lánctört az

$[b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},\ldots ]$

alakban is írható, ahol a zárójelben levő számok a lánctört jegyei.

Függvénysorozat

A lánctörtek ${\Big (}\left(\{a_{n}\},\{b_{n}\}\right),\{f_{n}\}{\Big )}$ alakú rendezett párok, ahol $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, $\{b_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ komplex számok sorozata, ahol $a_{n}\not =0$ minden n-re. $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ egy sorozat a kiterjesztett komplex síkon, ahol

$f_{n}=s_{1}\circ s_{2}\circ \ldots \circ s_{n}(0)$

ahol $s_{k}$-k a komplex síkon értelmezett lineáris törtfüggvények:

$s_{k}:\mathbb {C} _{\infty }\rightarrow \mathbb {C} _{\infty },z\mapsto {\frac {a_{k}}{b_{k}+z}}\qquad (k=1,2,\ldots )$

Így

$f_{n}={\frac {a_{1}|}{|b_{1}}}+{\frac {a_{2}|}{|b_{2}}}+{\frac {a_{3}|}{|b_{3}}}+\ldots +{\frac {a_{n}|}{|b_{n}}}.$

$a_{n}$ az $n$edik részszámláló, $b_{n}$ az $n$-edik résznevező, és $f_{n}$ a lánctört $n$-edik közelítése.

Típusaik

Véges lánctörtek

Egy lánctört véges, ha egy bizonyos n szám után véget ér. Egy egyszerű példa:

${\frac {1729}{314}}=[5;1,1,38,1,3]=5+{\frac {1|}{|1}}+{\frac {1|}{|1}}+{\frac {1|}{|38}}+{\frac {1|}{|1}}+{\frac {1|}{|3}},$

ahol a jegyek meghatározhatók az euklideszi algoritmussal.

Végtelen lánctörtek

Ha a lánctörtnek végtelen sok jegye van, akkor végtelen. Ezek értéke irracionális; a résztörtek közelítést adnak erre az értékre. Ha $a_{n}$ minden n-re egy, és a nevezők periodikusan váltakoznak, akkor a lánctört periodikus. Lagrange tétele szerint egy lánctört akkor és csak akkor periodikus, ha van olyan racionális együtthatós másodfokú egyenlet, aminek megoldása.

Irracionalitás

Vezessük be a következő jelölést:

${\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}={\frac {a_{1}|}{|b_{1}}}+{\frac {a_{2}|}{|b_{2}}}+{\frac {a_{3}|}{|b_{3}}}+{\frac {a_{4}|}{|b_{4}}}+\ldots$

legyen b₀ = 0, és tekintsünk egyszerű lánctörteket.

Legyenek továbbá

${\frac {u_{0}}{v_{0}}}={\underset {i=r}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {1}{b_{i}}}$

${\frac {u_{1}}{v_{1}}}={\underset {i=r+1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {1}{b_{i}}}$

${\frac {u_{2}}{v_{2}}}={\underset {i=r+2}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {1}{b_{i}}}$

satöbbi.

Ezzel

${\frac {u_{k}}{v_{k}}}={\frac {1|}{|b_{r}}}+{\frac {u_{k+1}|}{|v_{k+1}}}$ also ${\frac {u_{k+1}}{v_{k+1}}}={\frac {v_{k}-u_{k}b_{r}}{u_{k}}}$

ahonnan

$v_{k+1}=u_{k}$

így

${\frac {u_{k+1}}{v_{k+1}}}={\frac {v_{k}-u_{k}b_{r}}{u_{k}}}$

ezzel

$v_{k+1}=u_{k}.$

${\frac {u_{k}}{v_{k}}}<1,$ tehát $v_{0}>u_{0}>u_{1}>u_{2}>u_{3}\ldots$. Ha egy i indextől kezdve racionálisak lennének, akkor u_i, u_i+1, u_i+2, … egyre kisebb lenne, és a nullához kellene tartania, és így a lánctört nem lehet véges.

Periodikus lánctörtek

Egy lánctört periodikus, ha vannak $k,l$ számok, hogy $x_{\lambda +k}=x_{\lambda }$ minden $\lambda \geq l+1$ számra. A legkisebb ilyen $k$ a lánctört periódusa. Ekkora lánctört az

$x=[x_{0};x_{1},\ldots ,x_{l},{\overline {x_{l+1},\ldots ,x_{l+k}}}]$

alakba írható.

A lehető legkisebb $l$-re az $x_{0},\ldots ,x_{l}$ sorozat a lánctört előszakasza, aminek hossza $l+1.$ Joseph Louis Lagrange egy tétele szerint egy lánctört pontosan akkor periodikus, ha értéke egy racionális együtthatós másodfokú egyenlet megoldása.

Példák:

Legyen $x=[1;{\overline {1,2}}]$. Mivel egynél nagyobb, ezért vonjuk le az egészrészt:

$y:=x-1$.

Ekkor $y=(x-1)={\frac {1}{1+{\frac {1}{2+y}}}}$.

Átrendezéssel $y={\frac {2+y}{3+y}}$,

így $y^{2}+2y+1=3$

amiből $y+1=\pm {\sqrt {3}}$.

Mivel $y>0$,

azért $x=y+1={\sqrt {3}}$.

Hasonlóan mutatható meg, hogy ${\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,\ldots ].$ Fejtsük $x={\sqrt {2}}$-t lánctörtbe! ${\sqrt {2}}>1,$ így különvesszük az egészrészt: $x=1+{\sqrt {2}}-1$

Felírjuk ${\sqrt {2}}-1$-t, mint reciprokának reciprokát. Kapjuk:

$x=1+{\frac {1}{\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}}=1+{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}.$

A harmadik binomiális tétel miatt ${\frac {1}{a-b}}={\frac {a+b}{a^{2}-b^{2}}}$,

ennélfogva ${\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}={\frac {{\sqrt {2}}+1}{2-1}}$.

Mivel $x={\sqrt {2}}$, azért írhatjuk, hogy:

$x=1+{\frac {1}{1+x}},$ azaz $(x-1)={\frac {1}{2+(x-1)}}$.

Tehát x-1 lánctörtbe fejtése $(x-1)=({\sqrt {2}}-1)=[0;2,2,\ldots ],$ és ehhez már csak egyet kell adni, hogy négyzetgyök kettőt kapjunk.

Nem periodikus lánctörtek

A végtelen, nem periodikus törtek olyan irracionális számoknak felelnek meg, amik vagy transzcendensek, vagy kettőnél magasabb fokú algebraiak.

Példa: köbgyök kettő lánctörtes alakja :${\sqrt[{3}]{2}}$$=[1;3,1,5,1,1,4,1,1,8,1,14,\dots ]$.

Az e Euler-konstans lánctörtbe fejtve: :$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,\dots ],$

ahol is a könnyen felismerhető minta folytatódik a végtelenségig.

Különlegesen fontos a π lánctörtbe fejtésének a π irracionális voltának és approximálhatóságának bizonyításában. A lánctört jegyeiben semmilyen minta nem ismerhető fel:

$\pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,\dots ]$

Lambert megtalálta a tangensfüggvény lánctörtbe fejtését:

$\mathrm {tg} z={\frac {z|}{|1}}+{\frac {z^{2}|}{|3}}+{\frac {z^{3}|}{|5}}+{\frac {z^{4}|}{|7}}+\ldots ={\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {z^{i}}{2i-1}}$

és ez alapján belátta, hogy a nullától különböző racionális számok tangense irracionális. Továbbá bebizonyította, hogy π irracionális, amihez felhasználta Adrien Marie Legendre egy lemmáját, és azt, hogy $\mathrm {tg} {\frac {1}{4}}\pi =1$

Az ${\frac {\pi }{4}}={\frac {1|}{|1}}+{\frac {1^{2}|}{|2}}+{\frac {3^{2}|}{|2}}+{\frac {5^{2}|}{|2}}+\ldots$ általános lánctörtbe fejtést 1656-ban Lord William Brouncker fedezte fel a Wallis-szorzat segítségével. Ez a lánctört azonban az egyszerű lánctörtekkel ellentétben nagyon lassan konvergál.

Példák a konvergenciára:
Piros: A π
Kék: A γ Euler-Mascheroni-konstans
Zöld: Kettő köbgyöke (${\sqrt[{3}]{2}}$)
Fekete: Hincsin-konstans

Ellenpéldák a konvergenciára:
Piros: Az $e$ Euler—szám
Kék: Négyzetgyök kettő(${\sqrt {2}}$)
Zöld: Négyzetgyök három (${\sqrt {3}}$)
Fekete: Hincsin-konstans

A $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}}}$ kifejezés majdnem minden valós szám esetén ugyanahhoz a számhoz konvergál. Ez a Hincsin-konstans. Ez megfelel az $a_{k}$ lánctörtjegyek mértani közepének. A Hincsin-konstans közelítő értéke $2{,}685452001\dots$, és nem ismert, hogy irracionális-e.

A majdnem mindenütt kifejezésben a kivételeket azok a számok jelentik, amik lánctörtes alakjában a jegyek felismerhető minta szerint következne. Ilyen például az e szám négyzetgyöke és négyzete, aminek első néhány lánctörtes jegye

$e^{2}=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,12,54,\dots ]$

Lánctörtbe fejtés

Egy α pozitív szám $[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ]$ lánctörtes alakja egy lánctörtbefejtő algoritmussal számítható, ami az euklideszi algoritmus kiterjesztése a valós számokra.

Az algoritmus kezdetekor $\alpha _{0}=\alpha .$ A lánctört minden egyes jegyéhez a következőket kell tenni:

1. Az i-edik jegy, a_i α_i egészrésze.
2. $\alpha _{i+1}={\frac {1}{\alpha _{i}-\lfloor \alpha _{i}\rfloor }}$

Racionális α esetén az egyik a_i egész szám lesz, a lánctört utolsó jegye. Ezzel az eljárás véget ér. Irracionális α szám estén meg kell adni egy i lépésszámot, különben az algoritmus nem ér véget.

Példaként tekintsük négyzetgyök kettő lánctörtbe fejtésáét a második jegyig:

${\begin{aligned}\alpha _{0}&={\sqrt {2}}\\a_{0}&=1\qquad ({\text{mert }}1\leq {\sqrt {2}}<2)\\\alpha _{1}&={\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}\\&={\frac {{\sqrt {2}}+1}{({\sqrt {2}}-1)\cdot ({\sqrt {2}}+1)}}\\&={\sqrt {2}}+1\\a_{1}&=2\qquad ({\text{mert }}2\leq {\sqrt {2}}+1<3)\\\alpha _{2}&={\frac {1}{({\sqrt {2}}+1)-2}}\\&={\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}\\&={\sqrt {2}}+1\\a_{2}&=2\qquad ({\text{mert }}2\leq {\sqrt {2}}+1<3)\end{aligned}}$

Eszerint négyzetgyök kettő lánctörtes alakja $[1;2,2,\ldots ]$

Kiértékelés

Véges lánctörtekre kiszámítható a pontos érték; a végtelen lánctörtek értéke közelítőleg adható meg.

Felszálló módszer

A lánctörtet alulról felfelé oldja meg:

$f_{n,n}={\frac {a_{n}}{b_{n}}},f_{j,n}=s_{j}(f_{j+1,n})={\frac {a_{j}}{b_{j}+f_{j+1,n}}}$

minden $j=n-1,n-2,\ldots ,1$-re.

Leszálló módszer

A lánctört kiértékelését az első résztörtnél kezdi. Az f_n közelítések egymásba skatulyázott intervallumokat adnak.

${\begin{pmatrix}p_{-1}\\q_{-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}p_{0}\\q_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{p_{n} \choose q_{n}}=a_{n}{p_{n-2} \choose q_{n-2}}+b_{n}{p_{n-1} \choose q_{n-1}}$

minden $n=1,2,\ldots$-re.

Ezzel $f_{n}={\frac {p_{n}}{q_{n}}}$ az n-edik közelítő tört.

Konvergencia

Egy lánctört konvergens, ha létezik a

$\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}=f$

határérték. Ekkor ez az f a lánctört értéke. Ha f_n nem korlátos, azaz minden $C\in \mathbb {R} _{\geq 0}$-hez van n, hogy $|f_{n}|\geq C$ minden $n\geq n_{0}$-ra, akkor nem beszélhetünk a szokásos értelemben vett lánctörtről.

Ekvivalens lánctörtek

Az ${\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}$ és a ${\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {a_{i}^{*}}{b_{i}^{*}}}$ lánctörtek ekvivalensek, ha mindegyik közelítésük egyenlő.

${\underset {i=1}{\overset {n}{\mathbf {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}={\underset {i=1}{\overset {n}{\mathbf {K} }}}{\frac {a_{i}^{*}}{b_{i}^{*}}}$ minden n-re.

Legyen $\{c_{n}\}_{n\geq 0}\subseteq \mathbb {C} \setminus \{0\},c_{0}=1$. Mivel itt nem közönséges, hanem lánctörtekről van szó, ezért itt nem szabad egyszerűsíteni. Ekkor teljesülnek e következő ekvivalenciák:

${\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}$ ekvivalens ${\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {c_{i-1}c_{i}a_{i}}{c_{i}b_{i}}}$-vel

Ebből

${\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}$ ekvivalens ${\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {b_{i-1}^{-1}b_{i}^{-1}a_{i}}{1}}$-gyel,ha minden n-re $b_{n}\not =0$

és :${\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}$ ekvivalens ${\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {1}{b_{i}c_{i}}}$-vel, ahol $c_{1}=a_{1}^{-1},c_{n}=(a_{n}c_{n-1})^{-1}$ minden $n=2,3,\ldots$-ra.

Konvergenciakritériumok

A leszálló kiértékelésből

$p_{n-1}q_{n}-p_{n}q_{n-1}=(-1)^{n}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$

minden $n=1,2,\ldots$-ra.

Ezzel két lánctört különbsége

$f_{n}-f_{n-1}=(-1)^{n+1}{\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{q_{n-1}q_{n}}},$

így a lánctörtek közelítő értékei pozitív jegyek esetén felváltva kisebbek és nagyobbak, mint a pontos érték. Következik, hogy a ${\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}$ lánctört f_n közelítő értéke megegyezik a

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{q_{n-1}q_{n}}}$ sor n-edik részösszegével. Tehát ${\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}$ akkor és csak akkor konvergál, ha a sor konvergens.

Reguláris lánctörtek

Legyen b_n>0 minden n-re. Ekkor a ${\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathbf {K} }}}{\frac {1}{b_{i}}}$ lánctört akkor és csak akkor konvergál, ha a $\sum _{i=1}^{\infty }b_{i}$ sor divergál.

Konvergenciasebesség

Lochs tétele szerint majdnem minden nulla és egy közötti számra hosszú távon egy lépés ${\tfrac {\pi ^{2}}{6\ln 2\ln 10}}\approx 1.03064$ lánctörtjegyet ad. Ezzel a lánctört nem sokkal hatékonyabb, mint a tizedestört alak.

Alkalmazások

A valós számok közelíthetők lánctörtekkel. Megmutatható, hogy egy irracionális szám legjobb racionális közelítése lánctörtbe fejtéssel, és annak részleges kiértékelésével kapható, és ennél pontosabbat csak a nevező növelésével lehet adni. A hiba a nevező reciprokának négyzetével arányos.

Például a fent említett

$\pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,\dots ]$

lánctört rendre a következő közelítéseket adja:

$3\quad ,\quad {\frac {22}{7}}\approx 3{,}143\quad ,\quad {\frac {333}{106}}\approx 3{,}14151\quad ,\quad {\frac {355}{113}}\approx 3{,}1415929\quad ,\quad {\frac {103993}{33102}}\approx 3{,}1415926530\quad ,\quad \ldots$

Ezek váltakozva kisebbek és nagyobbak π pontos értékénél, és a hiba egyre kisebb.

Az a_n jegyek nagyságából kiolvasható, hogy milyen jól közelíthető az adott α=[a₀;a₁, ...] szám. Az algebrai számok nem közelíthetők tetszőleges pontossággal. Joseph Liouville ezt kihasználva adta az első példát transzcendens számra. Ha a_n elég gyorsan nő, akkor α egy jól approximálható Liouville-szám. Jó approximálhatóságuk miatt ezek a számok transzcendensek.

A lánctörtek gyakorlati számításokra nem alkalmasak, mert nincs olyan módszer, amivel két lánctört gyorsan összeadható, kivonható, szorozható, vagy osztható lenne, és nem létezik gyors gyökvonási eljárás sem.

Létezik egy faktorizáló algoritmus, ami a faktorizálandó szám négyzetgyökének lánctörtbe fejtésén alapul. A működés előfeltétele, hogy a faktorizálandó szám ne legyen négyzet.

1834-ben Vincent publikált egy módszert, ami egy egész együtthatós négyzetmentes polinom gyökeit lánctörtek segítségével szétválasztja. Minden így kapott intervallumon a polinomnak egy gyöke van, ahova az adott intervallumon a Newton-módszer konvergál.

Történeti áttekintés

Már nagyon régóta ismeretes, hogy a számok közelíthetők lánctörtekkel. Felhasználják a naptárkészítésben, szökőévek kiszámításában, fontos konstansok közelítésére, és számok irracionális voltának bizonyítására.

Először Pietro Cataldi 1613 -ban kiadott könyvében jelentek meg lánctörtek, de szó esik róluk Daniel Schwenter könyvében, a „Deliciae Physic-Mathematicae”ban (1636) is. 1655-től John Wallis több művében is foglalkozott velük. Christiaan Huygens nagy törteket és természeti konstansokat közelített velük: így számította ki Naprendszer-modelljéhez a fogaskerekek áttétét.

A Szaturnuszhoz például

${\frac {77\,708\,491}{2\,640\,858}}=29{,}425471\dots$

kellett. Három lánctörtjeggyel a relatív hiba körülbelül 0,01%:

$29+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{1}}}}}}={\frac {206}{7}}=29{,}428571\ldots$

Leonhard Euler levelezésében először a Riccati-differenciálegyenletekkel kapcsolatban jelentek meg a lánctörtek. Hamarosan azonban már maguk a lánctörtek kezdték érdekelni, és megalapozta a lánctörtek elméletét. Belátta, hogy a számok lánctörtbe fejthetők az euklideszi algoritmus általánosításával; hogy a racionális számok lánctörtes alakja véges; hogy a végtelen periodikus lánctörtek másodfokú racionális együtthatós egyenletek megoldásai; és hogy a lánctörtes közelítés valamilyen értelemben a legjobb. Ezek közül egyeseket már Huygens is ismert, de Euler erről nem tudott.

A lánctörtbe fejtéshez Lord William Brouncker is kidolgozott egy algoritmust. Euler 1759-ben kimutatta, hogy az új algoritmus valójában megegyezik a régivel. Johann Heinrich Lambert 1766-ban lánctörtekkel bizonyította π irracionális voltát. Bolyai Farkas szintén foglalkozott a témával. Mortiz Abraham Stern 1832-ben megalkotta az első összefoglalást a lánctörtekről.

Kapcsolódó szócikkek

• Másodfokú egyenletek megoldása lánctörtekkel

Források

• Peter Henrici: Applied and Computational Complex Analysis Volume 2. John Wiley & Sons Inc, 1991, ISBN 0-471-54289-X
• http://mathworld.wolfram.com/ContinuedFraction.html
• Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Leipzig, Berlin 1913
• Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Teubner, 3. verb. u. erw. Aufl., Stuttgart, Band 1: Elementare Kettenbrüche (1954), Band 2: Analytisch-funktionstheoretische Kettenbrüche (1957)
• Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 5. Auflage. Springer, 2002, ISBN 3-540-43579-4, S. 23–24, 222–241
• Alexander Jakowlewitsch Chintschin: Kettenbrüche. Teubner, Leipzig 1956
• Benedikt Sporer: Niedere Analysis. 2 verb. Auflage. Göschensche Verlagshandlung, Berlin und Leipzig 1917
• Ebbinghaus et al.: Zahlen. 3. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg 1992, Kapitel Irrationalität von $\pi$, Kettenbruchentwicklung derselben. ISBN 3-540-55654-0

További információk

• Lánctörtbe fejtés és konverter
• Tételek lánctörtekről
• Bolyai Farkas és a lánctörtek
• Lánctörtek a Penrose-csempézésben Archiválva 2009. szeptember 23-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Lánctörtek felhasználása approximációhoz
• Egy másik approximációs alkalmazás