Lineáris törtfüggvények

Lineáris törtfüggvénynek nevezik a komplex függvénytanban az alakú függvényeket, ahol , és a,b,c,d komplex számok. Az elemi matematikában (annak valós függvénytan c. részében) az a,b,c,d együtthatók valós számok.

A komplex számsíkon értelmezett lineáris törtfüggvények regulárisak és kölcsönösen egyértelműek. A kétszer kettes komplex mátrixok csoportjával izomorf háromszorosan tranzitív csoportot alkotnak a kompozícióra.

CsoportSzerkesztés

A csoportművelet a kompozíció. Az egységelem az identitás. A   lineáris törtfüggvény inverze a   lineáris törtfüggvény. A csoportot generálják az eltolások, a forgatások, nyújtások, és az   függvény:

 

Projektív szemléletSzerkesztés

A lineáris törtfüggvények a komplex projektív egyenes kettősviszonytartó transzformációinak tekinthetők. Így bizonyíthatók a következő tulajdonságok:

  • A csoport háromszorosan tranzitív
  • Csak az identitás hagy helyben három pontot
  • Kör vagy egyenes képe kör vagy egyenes

Legyen egy pontpár egyenesre szimmetrikus, ha tükörképek, és körre szimmetrikus, ha egymás inverz képe.

  • Körre vagy egyenesre szimmetrikus pontpár képe körre vagy egyenesre szimmetrikus

További tulajdonságokSzerkesztés

  • Körbelsőt vagy félsíkot körbelsőre, körkülsőre, vagy félsíkra képeznek
    • Ha egy lineáris törtfüggvény megtartja az irányítást, akkor körbelső körbelsőbe megy. Ha megváltoztatja, akkor körbelsőt körkülsőbe visz.
  • Körlap vagy félsík körlapra való reguláris és kölcsönösen egyértelmű leképezése lineáris törtfüggvény

BizonyításokSzerkesztés

Háromszoros tranzitivitásSzerkesztés

Tétel: A lineáris függvények csoportja háromszorosan tranzitív.

Definíció: Négy komplex szám,   kettősviszonya a   hányados.

Bizonyítás: Jelölje   a   kettősviszonyt. Legyen továbbá      . Ekkor   lineáris transzformáció.

Hasonlóan, legyen   a   kettősviszony. Legyen továbbá      . Ekkor   is lineáris transzformáció.

Tekintsük az   transzformációt. Ez lineáris függvény, és az adott   pontokat az adott   pontokba viszi.

Kör vagy egyenes képeSzerkesztés

Tétel: Kör vagy egyenes képe kör vagy egyenes.

Bizonyítás: A lineáris törtfüggvények csoportját generálják az eltolások, a forgatások, nyújtások, és az   függvény. Ezek a függvények kört vagy egyenest körbe vagy egyenesbe visznek át, ugyanis az eltolások, forgatások és nyújtások hasonlósági transzformációk, az   függvény meg az invertálás konjugáltja, ezek pedig szintén kört vagy egyenest körbe vagy egyenesbe visznek át.

Körre vagy egyenesre szimmetrikus pontpár képeSzerkesztés

Tétel: Körre vagy egyenesre szimmetrikus pontpár képe körre vagy egyenesre szimmetrikus.

Bizonyítás: Jelöljön   és   egy szimmetrikus pontpárt. Tekintsük a szimmetria alapkörét vagy tengelyét. A   pontot tartalmazó egyenesek és körök, amelyek merőlegesen metszik az alapkört vagy a tengelyt, még egy közös ponttal bírnak:  -gyel. A lineáris függvény szögtartó a kölcsönös egyértelműség és a regularitás miatt, ezért a   pontpár képére ugyanezek az illeszkedési tulajdonságok teljesülnek. Így szimmetrikus pontpár képe szimmetrikus pontpár.

Irányítás és a körbelső képeSzerkesztés

Tétel: Ha egy lineáris törtfüggvény megtartja az irányítást, akkor körbelső körbelsőbe megy. Ha megváltoztatja, akkor körbelsőt körkülsőbe visz.

Bizonyítás: Legyen   pozitív irányítású körvonal. Vegyünk   belsejében egy tetszőleges   pontot. Jelölje   a lineáris törtfüggvényt, és tegyük fel, hogy a   körvonal   képe körvonal.

Ha   belseje   belsejébe képződik le, akkor   egy, a   körvonal belsejében levő   pontra, és  -nek nincs pólusa a kör belsejében. Az argumentumelv szerint   körülfordulási száma a tetszőleges  -re 1.

Ha   belseje   külsejébe képződik le, akkor   minden, a   körvonal belsejében fekvő   pontra, és a   lineáris törtfüggvénynek van egy pólusa. Az argumentumelv szerint   körülfordulási száma a tetszőleges  -re -1.

Körök és félsíkok kölcsönösen egyértelmű reguláris leképezéseiSzerkesztés

Tétel: Körlap vagy félsík csak lineáris törtfüggvénnyel képezhető le körlapra vagy félsíkra kölcsönösen egyértelmű és reguláris módon.

Bizonyítás: Legyen   tetszőleges pont a körlapon vagy a félsíkon. Mindkét kört vagy félsíkot képezzük az egységkörre lineáris törtfüggvénnyel úgy, hogy   és képe 0-ba menjen. Feltehető tehát, hogy   az egységkört önmagára képezi le, és a nulla képe nulla.

A Schwarz-lemmával:

  és  

és egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha  

ForrásSzerkesztés

Halász Gábor: Komplex függvénytan