Főmenü megnyitása

A matematikában azokat a valós vagy komplex számokat nevezik transzcendensnek, amelyek nem algebrai számok, amelyek tehát nem gyökei egész (vagy racionális) együtthatós polinomnak, más szóval nem megoldásai

alakú egyenletnek, ahol n ≥ 1, az együtthatók egészek és nem mind egyenlőek nullával.

Noha majdnem minden szám transzcendens (azaz csak megszámlálható sok algebrai szám van az összes számok kontinuum számosságú halmazában Cantor, 1874), adott számról ezt általában igen nehéz belátni.

Az e számról Hermite 1873-ban igazolta, hogy transzcendens. Módszerét továbbfejlesztve Lindemann 1882-ben bebizonyította, hogy π is transzcendens. Ebből már következik a körnégyszögesítés megoldhatatlansága, azaz hogy nem lehet körzővel és vonalzóval adott négyzettel egyenlő területű kört szerkeszteni. Lindemann azt az erősebb állítást igazolta, hogy ha β1, ..., βn egymástól, a1, ..., an pedig nullától különböző algebrai számok, akkor

Innen azonnal adódik, hogy π nem lehet algebrai, hiszen fennáll a nevezetes e+1=0 Euler-összefüggés. 1934-ben Alekszandr Oszipovics Gelfond és Theodor Schneider egymástól függetlenül igazolták, hogy ha a∉{0,1}, a algebrai szám, b pedig irracionális algebrai szám, akkor ab transzcendens, ilyen szám például a √22.

Az 1960-as években Alan Baker bebizonyította, hogy ha α1, ..., αn nemnulla algebrai számok, amelyekre log α1, ..., log αn lineárisan függetlenek a racionális test fölött, akkor 1, log α1, ..., log αn lineárisan függetlenek az algebrai számok teste fölött.[1]

Bizonyítottan transzcendens számokSzerkesztés

Számok, melyekről bebizonyították, hogy transzcendensek:

  a Gelfond–Schneider-állandó (vagy Hilbert-féle szám).
  • A lánctört-állandó, Carl Ludwig Siegel (1929)
 
 
vagy általánosabban, bármely a következő alakban felírható szám:
 
ahol 0 < |β| < 1 és β algebrai szám.[11]
  • A korábban már említett Liouville-állandó
 
vagy általánosabban, bármely a következő formában felírható szám:
 
ahol 0 < |β| < 1 és β algebrai szám.
  • A Prouhet–Thue–Morse-állandó.[12][13]
  • Bármely szám, melynek számjegyei valamely számrendszerben Sturmian-szót képeznek.[14]
  • Bármely β > 1-re
 
ahol   az egészrész függvény.

Nem bizonyítottan transzcendens számokSzerkesztés

Számok, melyekről még nem ismert, hogy transzcendensek vagy algebrai számok:

  • A π és az e legtöbb összege, szorzata, hatványa stb., pl. π + e, π − e, πe, π/e, ππ, ee, πe, π2, eπ2 nem ismert, hogy racionális, algebrai irracionális vagy transzcendens. Fontos kivételek a π + eπ, πeπ és az eπ√n (bármely pozitív egész n-re), melyekről bebizonyosodott, hogy transzcendensek.[15][16]
  • Az γ Euler–Mascheroni-állandó (amiről még az sem ismert, hogy irracionális-e).
  • A Catalan-állandó, amiről szintén nem ismert, hogy irracionális-e.
  • A ζ(3) Apéry-állandó, (amit Apéry irracionálisnak talált)
  • A Riemann-féle zéta-függvény páratlan egész helyen vett függvényértékei – ζ(5), ζ(7), ... – (nem ismert, hogy irracionális-e)
  • A δ és α Feigenbaum-állandók
  • A Mills-állandó.

Kapcsolódó sejtések:

ÁltalánosításSzerkesztés

Általánosan, ha   testbővítés, akkor lehet beszélni arról, hogy   egyes elemei algebraiak vagy transzcendensek   fölött.

TörténetükSzerkesztés

Nagy 18. századi matematikusok, mint Gottfried Wilhelm Leibniz (omnem rationem transcendunt) és Leonhard Euler már rendelkeztek a transzcendencia fogalmával, habár ne adtak rá egzakt definíciót. Euler nehezen megfogható számokról beszélt, melyeket túllépik az algebrai módszerek hatását. 1748-ben Introductio in Analysin Infinitorum című tankönyvében arról írt, hogy ha   pozitív racionális szám, és   pozitív egész szám, ami nem négyzetszám, akkor   nem algebrai, de nem irracionális; ez utóbbin algebrai irracionális számot értve. Ezt 1934-áben egy általánosabb eredmény részeként bizonyította az orosz Alekszandr Oszipovics Gelfond, illetve a német Theodor Schneider is igazolta. A két bizonyítás lényegi pontokon különbözik.

Joseph Liouville 1844-ben elsőként látta be transzcendens számok létezését, sőt explicit konstrukcióval példát is adott. Cikkében megmutatta, hogy minden   legalább másodfokú algebrai számhoz van egy   konstans, hogy minden   approximációra:

 

Innen következik, hogy a Liouville-konstans is transzcendens:

 

Lásd: Beweis des Approximationssatz von Liouville im Beweisarchiv.

Georg Cantor 1874-ben belátta, hogy nemcsak hogy vannak transzcendens számok, hanem hogy a „legtöbb” valós szám transzcendens. A számelméletre hagyatkozó Liouville-lel szemben Cantor halmazelméleti eszközöket használt. A matematikailag pontos megfogalmazás Cantor dolgozatának legfontosabb eredménye, hiszen elmélyítette a számokról való tudást. A konzervatívabb matematikusok, mint Leopold Kronecker ezt nehezen fogadták el. A bizonyításból látható, hogy míg az algebrai számok halmaza megszámlálható, addig az összes valós szám halmaza nem megszámlálható. Innen következik, hogy a transzcendens számok halmaza is megszámlálhatatlan.

Jelölje a továbbiakban   a transzcendens számok halmazát! Ekkor

 

ahol     számosságát szimbolizálja.   a megszámlálható végtelen halmazok számossága, többek között a természetes számok   halmazáé is.

Az   és a   transzcendenciáját Charles Hermite, illetve Ferdinand von Lindemann vezette le elsőként. Ezeket a bizonyításokat más matematikusok sokat egyszerűsítették, David Hilbert (1862–1943) bizonyítása 1893-ban jelent meg, „Über die Transcendenz der Zahlen   und  “ című dolgozatában.

Lásd:b:de:Beweisarchiv: Algebra: Körper: Transzendenz von e und π.

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

JegyzetekSzerkesztés

  1. https://books.google.hu/books?id=SmsCqiQMvvgC&pg=PA10&cad=0_0#PPA10,M1
  2. Dottie Number. Wolfram MathWorld . Wolfram Research, Inc.. (Hozzáférés: 2016. július 23.)
  3. Le Lionnais, F. Les nombres remarquables (ISBN 2-7056-1407-9). Paris: Hermann, p. 46, 1979. via Wolfram Mathworld, Transcendental Number
  4. a b Chudnovsky, G. V.. Contributions to the Theory of Transcendental Numbers. Providence, RI: American Mathematical Society (1984). ISBN 0-8218-1500-8  via Wolfram Mathworld, Transcendental Number
  5. Davison & Shallit 1991
  6. K. Mahler (1937). „Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen”. Proc. Konin. Neder. Akad. Wet. Ser. A. (40), 421–428. o.  
  7. Mahler (1976) p.12
  8. Calude, Cristian S.. Information and Randomness: An Algorithmic Perspective, 2nd rev. and ext., Texts in Theoretical Computer Science, Springer-Verlag, 239. o. (2002). ISBN 3-540-43466-6 
  9. Allouche & Shallit (2003) pp.385,403
  10. Shallit, Jeffrey. Number theory and formal languages, Emerging applications of number theory. Based on the proceedings of the IMA summer program, Minneapolis, MN, USA, July 15--26, 1996, The IMA volumes in mathematics and its applications. Springer-Verlag, 547–570. o. (1999). ISBN 0-387-98824-6 
  11. Loxton, J. H.. 13. Automata and transcendence, New Advances in Transcendence Theory. Cambridge University Press, 215–228. o. (1988). ISBN 0-521-33545-0 
  12. Mahler, Kurt (1929). „Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen”. Math. Annalen 101, 342–366. o. DOI:10.1007/bf01454845.  
  13. Allouche & Shallit (2003) p.387
  14. Pytheas Fogg, N.. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics, Editors Berthé, Valérie; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, A., Lecture Notes in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag (2002). ISBN 3-540-44141-7 
  15. Weisstein, Eric W.: {{{title}}} (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  16. Modular functions and transcendence questions, Yu. V. Nesterenko, Sbornik: Mathematics(1996), 187(9):1319

IrodalomSzerkesztés

  • Baker, Alan. Transcendental Number Theory, reissue, reprint, illustrated, revised, Cambridge University Press. DOI: 10.2277/052139791X. ISBN 0-521-39791-X, ISBN 978-0-521-39791-9 [1975] (1990) , Google Könyvkereső (angolul)
  • Klukovits Lajos: Algebrai és transzcendens számok (PDF). (Hozzáférés: 2010. október 12.)[halott link]
  • Alan Baker: Transcendental number theory. Reprinted edition. Cambridge University Press, London u. a. 1990, ISBN 0-521-39791-X (Ein anspruchsvolles Standardwerk, das tiefgreifende Theoreme entwickelt, aber profundes Vorwissen voraussetzt).
  • Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 4., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1998, ISBN 3-540-64630-2 (Bietet einen einführenden Überblick zum Thema „transzendente Zahlen“ an).
  • David Hilbert: Ueber die Transcendenz der Zahlen   und  . In: Mathematische Annalen. Bd. 43, Nr. 2/3, 1893, S. 216–219, doi:10.1007/BF01443645.
  • Arthur Jones, Sidney A. Morris, Kenneth R. Pearson: Abstract Algebra and Famous Impossibilities. Corrected 2nd printing. Springer, New York u. a. 1994, ISBN 0-387-97661-2 (Enthält eine ausführliche Schritt-für-Schritt-Erläuterung des Lindemannschen Transzendenzbeweises für  .)
  • Oskar Perron: Irrationalzahlen. (= Göschens Lehrbücherei. Gruppe 1: Reine Mathematik. Bd. 1, ZDB-ID 503797-9). de Gruyter, Berlin u. a. 1921.
  • Theodor Schneider: Einführung in die transzendenten Zahlen. (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Bd. 81, ISSN 0072-7830). Springer, Berlin u. a. 1957.
  • Andrei Borisovich Shidlovskii: Transcendental numbers. (= De Gruyter Studies in Mathematics. Bd. 12). de Gruyter, Berlin u. a. 1989, ISBN 3-11-011568-9 (Besser lesbar als das Buch von Baker, dennoch ähnlich fundiert).

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Transzendente Zahl című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Nézd meg a Transzcendens szám címszót a Wikiszótárban!