Bernoulli-számok
(Bernoulli-szám szócikkből átirányítva)
Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye. |
A Bernoulli-számok a számelméletben előforduló fogalom. Olyan racionális számokból álló sorozatot jelöl, amelyeket a következő rekurzió határoz meg:
- , továbbá
Így adódik a sorozat.
A definíció alapján kaphatjuk, hogy teljesül a
sorfejtés. Ebből igazolható, hogy .
A Bernoulli-számok a Riemann-féle zéta-függvény segítségével is definiálhatóak a következőképpen:
Különféle sorfejtésekben is előfordulnak, például
A Bernoulli-számok számlálói és nevezőiSzerkesztés
T. Claussen és C. von Staudt egymástól függetlenül a következő tételt fedezte fel:
- Ha m legalább 1, akkor
egész szám, ahol azon p prímszámokra összegzünk, amelyekre p-1 osztja 2m-t.
Mivel 2-1=1 és 3-1=2 osztója 2-nek, innen azonnal adódik Rámánudzsan észrevétele, hogy ekkor nevezője osztható 6-tal.
Aszimptotikus becslésSzerkesztés
n nagy értékeire érvényes a következő aszimptotikus formula: