Bernoulli-számok

(Bernoulli-szám szócikkből átirányítva)

A Bernoulli-számok a számelméletben előforduló sajátos értékek. A racionális számokból álló Bernoulli-számsorozatot a következő rekurzió határozza meg:

továbbá
és így tovább.
Általánosan a következő rekurzív képlettel értelmezzük a sorozatot: .

Így adódik a sorozat.

A definíció alapján kaphatjuk, hogy teljesül a

sorfejtés. Ebből igazolható, hogy .

A páros indexű Bernoulli-számok a Riemann-féle zéta-függvény segítségével is definiálhatóak a következőképpen:

Különféle sorfejtésekben is előfordulnak, például:

A Bernoulli-számok számlálói és nevezői

szerkesztés

T. Claussen és C. von Staudt egymástól függetlenül a következő tételt fedezte fel:

Ha  , akkor  , ahol azon p prímszámokat összegezzük, amelyekre  .

Mivel 2-1=1 és 3-1=2 osztója 2-nek, innen azonnal adódik Rámánudzsan észrevétele, hogy ekkor   nevezője osztható 6-tal.

Aszimptotikus becslés

szerkesztés

n nagy értékeire érvényes a következő aszimptotikus formula:  .