Főmenü megnyitása
Convanim expminus gauss hu.gif

Egy exponenciális sűrűségfüggvény és egy 0,564-re normált Gauss-görbe konvolúciója.
Az animáció interaktív (lassítható, gyorsítható, megállítható) változatát lásd a Külső
hivatkozások között. A Gauss-görbe középtengelyében látszó szaggatott vonal azt
mutatja, hogy melyik t értékhez rendelődik hozzá a zöld tartomány területe mint az
fg(t) konvolúció értéke.

A konvolúció egy olyan művelet, amit függvényeken és disztribúciókon is értelmeznek.

A intervallumon értelmezett integrálható függvények konvolúcióján az integrállal definiált függvényt értik.

A konvolúciónak széles körű alkalmazásai vannak a valószínűségszámításban, a Fourier-sorok és a parciális differenciálegyenletek világában. Segítségével gyorsabban lehet számokat összeszorozni és egyes parciális differenciálegyenleteket megoldani.

A disztribúciókon így értelmezik a konvolúciót:

Tartalomjegyzék

A függvénykonvolúció tulajdonságaiSzerkesztés

A konvolúció kommutatív, asszociatív és disztributív az összeadásra. Eredménye egy majdnem mindenütt értelmezett integrálható függvény, és  

Jelölje   a Fourier-transzformációt:

 

A valószínűségszámításban azért szeretik alkalmazni ezt a műveletet, mert így meg lehet kapni a független valószínűségi változók összegének eloszlását. Így be lehet látni, hogy

  • a   és a   paraméterű független Poisson-eloszlások összege   paraméterű Poisson-eloszlás,
  • a független normális eloszlások összege is normális eloszlás lesz   várható értékkel és   szórásnégyzettel.
  •   darab független   paraméterű exponenciális eloszlás összege  -edrendű,   paraméterű gammaeloszlás:

 

Diszkrét konvolúcióSzerkesztés

A legtöbb függvény diszkrét a digitális jelfeldolgozásban, a valószínűségszámításban és a képfeldolgozásban. A diszkrét konvolúció képzési szabálya:

 

ahol az összegzés a két függvény értelmezési tartományának egyesítésén megy. Korlátos értelmezési tartomány esetén  -et és  -t azonosan nullának tekintik az eredeti értelmezési tartományán kívül.

Két polinom, formális hatványsor vagy véges főrészű Laurent-sor szorzatának együtthatói megadhatók az együtthatókból álló, esetleg nullákkal kibővített sorok diszkrét konvolúciójával. Az eredményül kapott végtelen soroknak csak véges sok nem nulla tagja lehet.

A diszkrét konvolúció hatékonyan számítható gyors Fourier-transzformációval.

A disztribúciók konvolúciójának tulajdonságaiSzerkesztés

A disztribúciók definíciójaSzerkesztés

A disztribúciók a kompakt tartójú végtelenszer folytonosan differenciálható függvények   terén értelmezett lineáris funkcionálok, amik folytonosak a következő konvergencia értelmében:

  1. Van   része  , supp  , supp   része  
  2. Tetszőleges   indexvektor esetén   egyenletesen  -n.

TulajdonságokSzerkesztés

  • Két disztribúció nem mindig konvolválható.
  • A konvolúció kommutatív és lineáris, de nem asszociatív. Sőt, még a létezés sem következik.
  • Ha az   és a   disztribúciók konvolválhatók, akkor   tartója része   és   tartójának Minkowski-összegének.

A deriválással való kapcsolata miatt vezetik be:

  • Ha az   és a   disztribúciók konvolválhatók, akkor   bármely parciális deriváltja megkapható az egyik disztribúció megfelelő parciális deriváltjának és a másik disztribúciónak a konvolúciójaként.

Elégséges feltételek a konvolúció létezéséhezSzerkesztés

  • Legyenek   lokálisan integrálható függvények, és tekintsük a következő disztribúciókat:  , és   ahol     és   értelmezési tartománya.

Ekkor   és   konvolválható.

  • Ha   és   egyike kompakt tartójú, akkor   és   konvolválható, és  

ahol   akárhányszor differenciálható, és   a kompakt tartó egy környezetében.

  • Legyenek   és   disztribúciók. Legyen az   tartója egy   féltér része, és legyen   tartója egy olyan   valódi konvex körkúp része, aminek tengelye párhuzamos   normálisával. Ekkor  

ahol

    •   akárhányszor differenciálható,
    •     egy környezetében, és   egy nagyobb  -eltolt féltérben
    •   egy nagyobb  -eltolt kúpban, és   egy még nagyobb  -eltolt kúpon kívül

ForrásokSzerkesztés

  • Simon-Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek
  • Gonda János: Véges testek
  • Mogyoródi-Somogyi: Valószínűségszámítás jegyzet matematikus szakos hallgatóknak
  • Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás
  • Pál: A valószínűségszámítás és a statisztika alapjai I-II.
  • Bourbaki: Integration
  • Kôsaku Yosida: Functional Analysis. Springer-Verlag, ISBN 3-540-58654-7.

Külső hivatkozásokSzerkesztés