Poisson-eloszlás

A valószínűségszámításban és a statisztikában a Poisson-eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás, a binomiális eloszlás határeloszlása. Kifejezi az adott idő alatt ismert valószínűséggel megtörténő események bekövetkezésének számát (például: egy telefonközpontba adott időszakban és időtartamban beérkezett telefonhívások száma, vagy egy radioaktív anyag adott idő alatt elbomló atomjainak száma).

Nevét Siméon Denis Poissonról kapta, aki felfedezte, és valószínűségszámítási munkájában (Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile) publikálta. Az eloszlás első közismert alkalmazása a porosz hadseregben lórúgástól meghalt katonák számának leírása volt (Ladislaus von Bortkiewicz: Das Gesetz der kleinen Zahlen („A kis számok törvénye”), 1898) [1] Archiválva 2010. március 13-i dátummal a Wayback Machine-ben [2]).

Definíció

Az X valószínűségi változó λ paraméterű Poisson-eloszlást követ – vagy rövidebben: Poisson-eloszlású – pontosan akkor, ha

$\mathbf {P} (X=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda },\quad k=0,1,2,...\quad$

ahol λ > 0 konstans.

A Poisson-eloszlást jellemző függvények

Karakterisztikus függvénye

$\varphi (t)=e^{\lambda e^{it}-\lambda }=\exp[\lambda (\exp(it)-1)]=e^{\lambda e^{z}-\lambda }=\exp[\lambda (\exp(z)-1)]\,$

A Poisson-eloszlást jellemző számok

Várható értéke

$\mathbf {E} (X)=\lambda$.

Szórása

$\mathbf {D} (X)={\sqrt {\lambda }}$.

Momentumai

Harmad- és negyedrendű centrált momentumai

$\mathbf {E} [(X-\mathbf {E} (X))^{3}]=\lambda$

$\mathbf {E} [(X-\mathbf {E} (X))^{4}]=\lambda +3\lambda ^{2}$

Ferdesége

$\beta _{1}(X)=\lambda ^{-1/2}\,$

Lapultsága

$\beta _{2}(X)=\lambda ^{-1}\,$

Poisson-eloszlású valószínűségi változó néhány fontosabb tulajdonsága

• Poisson-eloszlású független valószínűségi változók összege is Poisson-eloszlású. Pontosabban ha X₁ és X₂ független Poisson-eloszlású valószínűségi változók λ₁ és λ₂ paraméterekkel, akkor X₁ + X₂ is Poisson-eloszlású λ₁ + λ₂ paraméterrel. Ugyanekkor X₁ feltételes eloszlása X₁ + X₂ = n -re vonatkozóan n és λ₁/(λ₁ + λ₂) paraméterű binomiális eloszlást követ.
• Az összegzésre vonatkozó összefüggés fordítottja is igaz. Pontosabban ha X₁ + X₂ is Poisson-eloszlású valamint tudjuk, hogy X₁ és X₂ független valószínűségi változók, akkor X₁ és X₂ is Poisson-eloszlású.
• Ha binomiális eloszlások olyan sorozatát vesszük, melyben az eloszlások n paramétere úgy tart a végtelenbe, hogy közben az np szorzat konstans marad (p így nyilván a 0-hoz tart), akkor határeloszlásként Poisson-eloszlást kapunk.

Források

• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.

További információk

• Interaktív Java szimuláció a Poisson-eloszlásról és a Poisson-folyamatról. Szerzők: Kyle Siegrist & Dawn Duehring