Feltételes eloszlás

A valószínűségszámításban a valószínűségi változók feltételes eloszlása egy lehetőség arra, hogy többdimenziós valószínűségeloszlások viselkedését vizsgálják peremeloszlásokra vonatkozóan. A keletkezett eloszlás tartalmazza egyes koordináták értékéről megszerzett tudást. Fontos szerep jut nekik a Bayes-statisztikák készítésében, például az a-posteriori valószínűségek meghatározásában. A feltételes eloszlás a feltételes valószínűségre alapul, így osztozik annak problémáiban. Az általánosabb szabályos feltételes eloszlás a feltételes várható értékre épít, így megkerüli ezeket a problémákat.

Definíció

Diszkrét eset

Adva legyen egy $Z=(X,Y)$ kétdimenziós valószínűségi változó $\mathbb {Z} ^{2}$-en az $f(x,y)$ közös eloszlásfüggvénnyel. Ennek egyik peremeloszlása $Y$ eloszlása, az $f_{Y}(y)$ peremeloszlásfüggvénnyel. Ekkor $P(Y=y)>0$ esetén az

$f(x|y):={\frac {P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}}={\frac {f(x,y)}{f_{Y}(y)}}$

valószínűségfüggvényű valószínűségi változó $X$ feltételes eloszlása, feltéve $Y=y$, valószínűségi függvénye feltételes valószínűségi függvény. A hozzá tartozó valószínűségi függvény jelölése $P_{X|Y=y}$.

Folytonos eset

Adva legyen a kétdimenziós $Z=(X,Y)$ valószínűségi vektorváltozó $\mathbb {R} ^{2}$-en. Az

$F(x|y)=\lim _{h\downarrow 0}P(X\leq x|y\leq Y\leq y+h)$

eloszlás feltételes eloszlásfüggvény $X$ feltételes eloszlása, feltéve $Y=y$.

Egy $f(x,y)$ közös sűrűségfüggvény és egy $f_{Y}(y)$ létezése esetén, amennyiben ez utóbbi nem egyenlő nullával, akkor a feltételes sűrűségfüggvény

$f(x|y)={\frac {f(x,y)}{f_{Y}(y)}}$.

Példa

Legyen $Z=(X,Y)$ multinomiális eloszlású valószínűségi vektorváltozó, $Z\sim M(n,(p,1-p))$. Valószínűségi függvénye

$f_{Z}(x,y)\;=\;{\begin{cases}{n \choose x,y}\;p^{x}(1-p)^{y}&{\mbox{ha }}x+y=n\\0&{\mbox{egyébként}}\end{cases}}$.

Peremeloszlása $X$-re vonatkozóan binomiális:

$f_{X}(x)={n \choose x}p^{x}(1-p)^{(n-x)}$.

A feltételes valószínűségfüggvényre adódik, hogy

$f(y|x)={\frac {f_{Z}(x,y)}{f_{X}(x)}}={\begin{cases}1&{\text{ ha }}y=n-x\\0&{\text{ egyébként }}\end{cases}}$.

Ez várható, mivel a koordináták összefüggnek az $x+y=n$ képlet szerint. A kimenetelek összege mindig $n$, ezért $X$ kimenetele meghatározza $Y$ értékét. Emiatt a feltételes valószínűség determinisztikus.

Források

• Christian Hesse. Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, 1., Wiesbaden: Vieweg (2003). ISBN 3-528-03183-2 
• Claudia Czado, Thorsten Schmidt. Mathematische Statistik. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2011). ISBN 978-3-642-17260-1 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Bedingte Verteilung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.