Többdimenziós valószínűségeloszlás

A valószínűségszámításban a többdimenziós eloszlás egy valószínűségi vektorváltozó eloszlása, azaz egy $\mathbb {R} ^{n}$-beli értékeket felvevő valószínűségi változó eloszlása. Egy $X=(X_{1},\dotsc ,X_{n})$ valószínűségi vektorváltozó eloszlása is mérhető halmazokhoz rendeli a valószínűségeket, de ezek $\mathbb {R} ^{n}$-beliek. Minden $A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mérhető halmaznak van valószínűsége, ami megadja, hogy $X$ értéke mekkora eséllyel esik ebbe a részhalmazba. Az $X$ egyes $X_{i}$ koordinátáinak eloszlását peremeloszlásnak nevezzük. A többdimenziós eloszlásra példa a multinormális eloszlás, más néven a többdimenziós normális eloszlás.

Bevezető példa

Tekintjük a következő két kísérletet:

1. Szabályos dobókockával dobunk kétszer, vagy ezzel ekvivalensen egy urnakísérlet, ahol is a számozott golyót visszatesszük. A lehetséges kimenetelek száma 36, és mivel egyformán valószínűek, mindegyik esélye 1/36.

2. Urnakísérlet számozott golyókkal, de a kihúzott golyót nem tesszük vissza. Emiatt az (1,1),(2,2),…,(6,6) kimenetelek nem fordulnak elő, így a többi 30 kimenetel valószínűsége egyenként 1/30.

Jelölje rendre a két valószínűségi vektorváltozót $Z_{1}$ és $Z_{2}$. Ezek peremeloszlásai ugyanazok, mind a hat szám ugyanazzal az 1/6 valószínűséggel fordul elő.

Az első kísérletben a két húzás egymástól független, mivel a kihúzott golyót visszatesszük, de a másodikban már nem, mivel másodjára nem jöhet ki ugyanaz a szám, pedig függetlenség esetén 1/36 lenne a valószínűségük, ami a peremeloszlások valószínűségének szorzata. De a (1,1),(2,2),…,(6,6) párok valószínűsége nulla.

Emiatt habár a peremeloszlások ugyanazok, a $Z_{1}$ és $Z_{2}$ valószínűségi változók különböző eloszlásúak.

Két dimenzióban

10000 szúrópróba egy Clayton-kopulával modellezett eloszlásból, ahol $\alpha =2,88$. Az eloszlás peremeloszlásai normális eloszlásúak

Egy kétdimenziós $Z=(X,Y)$ valószínűségi vektorváltozó eloszlásfüggvénye:

$F_{Z}(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y).$

Ha a $Z=(X,Y)$ valószínűségi vektorváltozó kétdimenziós sűrűségfüggvénye $f_{X,Y}$, akkor az eloszlásfüggvény:

$F_{Z}\left(x,y\right)=\int _{-\infty }^{y}\int _{-\infty }^{x}f_{X,Y}\left(u,v\right)\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$.

Ha az eloszlás diszkrét, akkor a közös eloszlás feltételes valószínűségekkel:

${\begin{aligned}\mathrm {P} (X=x,\ Y=y)&{}=\mathrm {P} (Y=y\mid X=x)\cdot \mathrm {P} (X=x)\\&{}=\mathrm {P} (X=x\mid Y=y)\cdot \mathrm {P} (Y=y)\end{aligned}}$

Folytonos esetben

$f_{X,Y}(x,y)=f_{Y|X}(y|x)f_{X}(x)=f_{X|Y}(x|y)f_{Y}(y)\;$

Itt $f_{Y|X}(y|x)$ és $f_{X|Y}(x|y)$ feltételes sűrűségfüggvények, azaz a megfelelő feltételes valószínűségi változók sűrűségfüggvényei. A feltételes valószínűségi változók: $Y$ feltéve $X=x$, és $X$ feltéve $Y=y$. Az $f_{X}(x),f_{Y}(y)$ függvények rendre $X$ és $Y$ peremeloszlásai.

Az ábrán a koordináták közötti összefüggést kopulák jelzik. A bemutatott eloszlás példa arra, hogy ha a peremeloszlások normálisak, akkor az eloszlás nem biztos, hogy normális.

Általános eset

Ha az n-dimenziós $Z=(X_{1},\dots ,X_{n})$ valószínűségi vektorváltozónak van sűrűségfüggvénye, akkor az eloszlásfüggvény a kétdimenziós esethez hasonlóan

$F_{Z}\left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)=\int _{-\infty }^{x_{n}}\dots \int _{-\infty }^{x_{1}}f_{X_{1},\dots ,X_{n}}\left(u_{1},\dots ,u_{n}\right)\mathrm {d} u_{1}\dots \mathrm {d} u_{n}$.

A dimenziók növekedéséveol több lehetőség adódik peremeloszlásokra, minden $1\leq k<n$ alacsonyabb dimenzióhoz létezik ${n \choose k}$ peremeloszlás. Például három dimenzióban három egyváltozós és három kétváltozós peremeloszlás van.

Független valószínűségi változók közös eloszlása

Ha a diszkrét X és Y valószínűségi változókra minden x és y esetén teljesül, hogy $\ P(X=x,\ Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)$, akkor függetlenek.

Hasonlóan, ha folytonos X és Y valószínűségi változókra minden x és y esetén teljesül, hogy $\ f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y)$, akkor függetlenek.

Források

• K. V. Mardia, J. T. Kent, J. M. Bibby: Multivariate Analysis. Acad. Press, New York 1979, ISBN 0-12-471250-9. (engl.)
• Ludwig Fahrmeir, Alfred Hamerle (Hrsg.): Multivariate statistische Verfahren. de Gruyter, New York 1996, ISBN 3-11-008509-7.
• Joachim Hartung, Bärbel Elpelt: Multivariate Statistik. Oldenbourg, München/ Wien 1999, ISBN 3-486-25287-9.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Multivariate Verteilung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.