Valószínűségi vektorváltozó

A valószínűségszámításban a valószínűségi vektorváltozó egy többdimenziós valószínűségi változó. Lényegét tekintve egy valószínűségi mezőn definiált mérhető függvény, ami értékeit -ben veszi fel. A közönséges egydimenziós valószínűségi változók több tulajdonsága közvetlenül vagy kis módosítással átvihető valószínűségi vektorváltozókra.

Nem tévesztendők össze a sztochasztikus vagy valószínűségi vektorokkal, amelyek koordinátái pozitívok és összegük egy. A valószínűségi vektorváltozókra nincs ilyen megkötés, kimenetelük bármilyen vektor lehet.

Definíció szerkesztés

Jelölje   a Borel-σ-algebrát. Legyen   valószínűségi mező,   természetes szám, ami legalább kettő. Ekkor egy   dimenziós valószínűségi vektorváltozó egy  -leképezés, amire  .

Ekvivalens definíciók:

  •   mérhető függvény egy   alaphalmazú, Borel-σ-algebrával ellátott valószínűségi mezőn.
  • Legyen  , ahol   valós valószínűségi változók egy   valószínűségi mezőn. Ez a definíció azt használja ki, hogy egy  -be menő leképezés pontosan akkor mérhető, ha koordinátafüggvényei is.

Tulajdonságok szerkesztés

Momentumok szerkesztés

Ha a komponensei integrálhatók, akkor egy   valószínűségi vektorváltozó várható értéke

 ,

azaz a komponenseinek várható értékeinek vektora.[1]

Ha a komponensek négyzetesen integrálhatók, akkor a második momentuma a kovarianciamátrixa. Ez egy   méretű mátrix, ahol az  -edik sor és a  -edik oszlop metszetében   és   kovarianciája áll, azaz

 .

Függetlenség szerkesztés

Legyenek   és   valószínűségi vektorváltozók ugyanazon a valószínűségi mezőn. Függetlenségüket az egydimenziós esethez hasonlóan a   és   generált σ-algebrák segítségével értelmezzük, ahol   és   kezdeti σ-algebrák.[2]

Eloszlás szerkesztés

A valószínűségi vektorváltozó eloszlása többdimenziós valószínűségeloszlás, és valószínűségi mérték  -en. Pontosan ugyanaz, mint komponenseinek közös eloszlása.

A valószínűségi vektorváltozókhoz is rendelhető eloszlásfüggvény. Többdimenziós valószínűségeloszlásnak nevezik.

Folytonos és diszkrét valószínűségi vektorváltozók szerkesztés

A valós értékű vaklószínűségi változókhoz hasonlóan, ha egy valószínűségi vektorváltozónak van sűrűségfüggvénye, akkor abszolút folytonos vagy egyszerűen folytonos valószínűségi változó.[3] Ha egy valószínűségi vektorváltozó legfeljebb megszámlálható végtelen értéket vesz fel, akkor diszkrét.[4]

Konvergencia szerkesztés

Az eloszlásbeli konvergencia, a valószínűségbeli konvergencia és a majdnem biztos konvergencia problémamentesen átvihető, mivel ezek szeparábilis metrikus tereken vannak értelmezve, így  -re is érvényesek.

Az eloszlásfüggvény szerinti konvergencia nem megy át; viszont Lévy folytonossági tétele továbbra is használható.

Cramér-Wold-tétel szerkesztés

A Cramér-Wold-tétel lehetővé teszi, hogy az  -beli eloszlásbeli konvergenciát redukáljuk  -beli eloszlásbeli konvergenciára.

Jelölje   a skaláris szorzatot. Legyen   valószínűségi vektorváltozók sorozata  -ben. A következő állítások ekvivalensek:[5]

  • Az   sorozat eloszlásban tart  -hez
  • Minden   esetén létezik egy   valós valószínűségi változó úgy, hogy   eloszlásban tart  -hez.

Ha a két ekvivalens kifejezés teljesül, akkor   eloszlása minden  -re ugyanaz, mint  .

Általánosítások szerkesztés

Egy lehetséges további általánosítás a véletlen mátrix avagy valószínűségi mátrixváltozó. Ez mátrix értékű valószínűségi változó, mely mátrixváltozós valószínűségi eloszlásból származik.

Jegyzetek szerkesztés

  1. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 130.
  2. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 95.
  3. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 178.
  4. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 96.
  5. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 335.

Források szerkesztés

  • Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6 
  • Norbert Kusolitsch. Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung, 2., átdolgozott és bővített, Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2014). ISBN 978-3-642-45386-1 
  • David Meintrup, Stefan Schäffler. Stochastik. Theorie und Anwendungen. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag (2005). ISBN 978-3-540-21676-6 

Fordítás szerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Zufallsvektor című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.