Főmenü megnyitása

Az (Ω, A, P) valószínűségi mezőn értelmezett X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő összefüggéssel definiált függvény:

Az így értelmezett függvény balról folytonos. Néha megengednek egyenlőséget is, ekkor a függvény jobbról folytonos lesz. Az angol és a német szakirodalom jobbról folytonosként értelmezi. Kolmogorov nyomán az egykori keleti blokk országaiban a szigorú egyenlőtlenséget használják.

Az eloszlásfüggvény tehát minden x valós számhoz annak a valószínűségét rendeli, hogy a valószínűségi változó ennél kisebb értéket vesz fel.

Az eloszlásfüggvény segítségével lehet sok alapvető jelentőségű valószínűségszámítási fogalmat definiálni, például a sűrűségfüggvényt és a várható értéket. Az eloszlásfüggvény segítségével lehet definiálni a valószínűségi változók egyik legfontosabb osztályát a folytonos valószínűségi változók osztályát is.

Általánosítható magasabb dimenziókra is, így a többváltozós (közös) eloszlásfüggvényhez jutunk.

Tartalomjegyzék

DefinícióSzerkesztés

Definíció valószínűségi mértékkelSzerkesztés

Adva legyen a   valószínűségi mérték a valós számok eseményterén, azaz legyen minden valós szám esemény. Balról folytonosságot feltételezve az

 ,   függvény

a   valószínűség eloszlásfüggvénye. Más szóval, a függvény az   helyen annak a valószínűségét adja meg, hogy bekövetkezik az   esemény.

Definíció valószínűségi változóvalSzerkesztés

Ha   valószínűségi változó, akkor az

 

függvény   eloszlásfüggvénye. Itt   annak a valószínűsége, hogy   értéke kisebb  -nél.

Ezzel a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye ugyanaz, mint eloszlásának eloszlásfüggvénye.

Alternatív definíciókSzerkesztés

 
Eloszlásfüggvények jobb oldali folytonosságot használva. Fent diszkrét, középen folytonos, alul vegyes eloszláshoz

Az angol és a német szakirodalomban az egyenlőtlenséget nem értelmezik szigorúan. Tehát a definíciókban

 ,  

helyett

 ,  

és   helyett   szerepel.

Továbbá

 ,

helyett

 ,

  értéke kisebb  -nél helyett legfeljebb   szerepel.

Ennek következtében a függvény balról folytonos helyett jobbról folytonos lesz. Folytonos eloszlások esetén a kétféle definíció ugyanazt az eredményt adja.

PéldákSzerkesztés

Szigorú egyenlőtlenség alkalmazásakor a binomiális eloszlás eloszlásfüggvénye:

 

továbbá

 .

Ha az egyenlőtlenség nem szigorú, akkor:[1]

 

A két konvenció egyenrangú, de választani kell közülük. Források feldolgozásakor erre ügyelni kell, mivel a képleteket nem mindig lehet átvenni, csak folytonos esetben. Erre utal az is, ha van sűrűségfüggvény.

Az eloszlásfüggvény tulajdonságaiSzerkesztés

(a) monoton nem csökkenő
(b) balról folytonos. Az egyenlőség megengedéséből ehelyett jobbról folytonosság következik. A folytonosság ekvivalens azzal, hogy minden pont valószínűsége nulla.
(c) a  -ben 0, a  -ben 1 a határértéke.
Megmutatható, hogy az állítás fordítottja is igaz: az F(x) függvény pontosan akkor eloszlásfüggvénye valamely valószínűségi változónak, ha a fenti három tulajdonság egyidejűleg teljesül rá. Ez továbbá egyértelmű, azaz adott eloszlás egyértelműen visszaállítható az eloszlásfüggvényből, és fordítva.[2]

Eloszlásfüggvénynek legfeljebb megszámlálható sok szakadása lehet.

PéldákSzerkesztés

Sűrűséges valószínűségi mértékekSzerkesztés

Ha a   valószínűségi mérték valószínűségi sűrűsége  , akkor

 .

Ekkor az eloszlásfüggvény

 .

Például az exponenciális eloszlás sűrűsége

 .

Ha tehát az   valószínűségi változó exponenciális eloszlású, vagyis  , akkor

 .

Ez az eljárás azonban nem általánosítható minden esetre. Ugyanis egyrészt nincs minden, a valós számokon értelmezett valószínűségi függvénynek sűrűségfüggvénye, másrészt a sűrűségfüggvényből nem következik, hogy integrálja előáll zárt alakban. Az előbbire példák a diszkrét valószínűségeloszlások a valós számokon értelmezve, az utóbbira pedig a normális eloszlás.

Diszkrét valószínűségi mértékekSzerkesztés

Legyen   egy   paraméterű Bernoulli-eloszlású valószínűségi változó, ekkor

 

ekkor az eloszlásfüggvény

 

Általánosabban, ha   nemnegatív egész számokat vesz fel, akkor

 .

Ahol   az egészrész, vagyis   a legnagyobb egész, ami nem nagyobb az   számnál.

Mértékelméleti általánosításSzerkesztés

Létezik az eloszlásfüggvénynek egy általánosabb, mértékelméleti definíciója is. Ez a következő: legyen μ véges mérték egy A halmazon, valamint g egy olyan μ-mérhető függvény, melynek értelmezési tartománya a teljes A halmaz (eltekintve esetleg az A egy μ-vel mérve 0 mértékű részhalmazától) és Rn-beli értékeket vesz fel. Ekkor a g eloszlásfüggvénye a

 

összefüggéssel definiált függvény. A valószínűségszámítás eloszlásfüggvénye esetében a μ szerepében a P valószínűségi mérték áll – ami a definíciója miatt véges – az A halmazt az Ω eseménytér adja, g helyén pedig az X valószínűségi változó áll – ami szintén definícióból adódóan az egész Ω-n értelmezett.

KonvergenciaSzerkesztés

Az   eloszlásfüggvények sorozata gyengén konvergál az   eloszlásfüggvényhez, ha   minden olyan   esetén, ahol az   folytonos.[3]

Valószínűségi változók esetén használják az eloszlásban konvergens és sztochasztikusan konvergens kifejezéseket is.[4]

Helly-Bray tétele az eloszlásfüggvények gyenge konvergenciájáról hidat képez a mértékek gyenge konvergenciájához. Valószínűségi mértékek akkor gyengén konvergensek, ha eloszlásfüggvényeik gyengén konvergensek. Valószínűségi változók eloszlásban konvergensek, ha eloszlásfüggvényeik sorozata gyengén konvergens. Egyes szerzők inkább az eloszlásban konvergens fogalmát vezetik be előbb, mivel ez könnyebben leírható.

Mértékelméleti értelemben vett eloszlásfüggvények esetén a fenti definíció nem korrekt, mivel mértékelméleti értelemben egy másik fajta konvergenciát vezet be. Ez azonban valószínűségi mértékek esetében egybeesik a gyenge konvergenciával. Az eloszlásfüggvények gyenge konvergenciáját a Lévy-távolsággal metrizálják.

OsztályozásSzerkesztés

A diszkrét valószínűségi változók eloszlásfüggvénye konstans szakaszokból áll, amelyek felfelé ugranak. Az ugrófüggvények közé tartoznak.

A folytonos eloszlások tovább osztályozhatók:

  • Abszolút folytonos eloszlások, ezeknek van sűrűségfüggvényük. Tipikus példák a normális és az exponenciális eloszlások.
  • Folytonosszinguláris eloszlások, amelyeknek nincs sűrűségfüggvényük. Ilyen például a Cantor-eloszlás.

Abszolút folytonos esetben a sűrűségfüggvény az eloszlásfüggvény deriváltja. Habár a többi eloszlásfüggvény is majdnem mindenütt deriválható, deriváltjuk majdnem mindenütt nulla.

Rokon fogalmakSzerkesztés

Tapasztalati eloszlásfüggvénySzerkesztés

Egy statisztika tapasztalati eloszlásfüggvénye a statisztika egy fontos szereplője. Formálisan egy   statisztika tapasztalati eloszlásfüggvénye megegyezik az   pontokon vett diszkrét egyenletes eloszlásnak. A Gliwenko-Cantelli tétel szerint a független véletlen számokból álló szúrópróba tapasztalati eloszlásfüggvénye tart ahhoz az eloszlásfüggvényhez, amely eloszlásból a véletlen számok származnak.

Közös eloszlásfüggvény és peremeloszlásokSzerkesztés

A közös eloszlásfüggvény általánosítja az eloszlásfüggvényt több dimenzióra több véletlen változó vagy valószínűségi vektorváltozó együttes eloszlásaként. Az egyes valószínűségi változókhoz illetve koordinátákhoz tartozó eloszlásfüggvények a peremeloszlás-függvények, amelyek hasonlóan kaphatók meg, mint az eloszlásfüggvény. A közös eloszlásfüggvény  -ban van definiálva, ahol  .

Általánosított inverz eloszlásfüggvénySzerkesztés

Az általánosított inverz eloszlásfüggvények bizonyos értelemben és megkötésekkel az eloszlásfüggvények inverzének tekinthetők. Jelentőségük a kvantilisek kiszámításában áll.

Mértékelméleti értelemben vett eloszlásfüggvénySzerkesztés

Eloszlásfüggvények definiálhatók a valós számokon vett bármely véges mértékre. A mértékelméleti értelemben vett eloszlásfüggvények tükrözik az eloszlás lényeges tulajdonságait, és az eloszlásfüggvény általánosításának tekinthetők.

Túlélési függvénySzerkesztés

A túlélési függvény az eloszlásfüggvénnyel szemben azt mutatja meg, hogy mekkora annak a valószínűsége, hogy egy bizonyos értéket meghaladjon a valószínűségi változó. Használják például az élettartamok elemzéséhez, ezzel mérik, hogy mi a valószínűsége egy életkor túlélésének.

Többváltozós és magasabb dimenziós eloszlásfüggvénySzerkesztés

A többváltozós eloszlásfüggvényeket valószínűségi vektorváltozókhoz rendelik. A magasabb dimenziós eloszlásfüggvényt inkább a mértékelméleti értelemben használják.

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Verteilungsfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

JegyzetekSzerkesztés

  1. W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. VEB Verlag Enzyklopädie Leipzig 1970, OCLC 174754758, S. 659–660.
  2. N. Schmitz. Vorlesungen über Wahrscheinlichkeitstheorie. Teubner, 1996.
  3. Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 396.
  4. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 287.

ForrásokSzerkesztés

  • Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D.: Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény (Typotex Kiadó, 2001)
  • Fazekas I. (szerk.): Bevezetés a matematikai statisztikába (Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2000)
  • Járai A.: Mérték és integrál (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002)
  • Klaus D. Schmidt. Maß und Wahrscheinlichkeit, 2., áttekintett, Heidelberg / Dordrecht / London / New York: Springer-Verlag (2011). ISBN 978-3-642-21025-9 
  • Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin / Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6 
  • Norbert Kusolitsch. Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung, 2., überarbeitete und erweiterte, Berlin / Heidelberg: Springer-Verlag (2014). ISBN 978-3-642-45386-1 

További információkSzerkesztés