Túlélési függvény

A túlélési függvény a valószínűségszámítás speciális valós függvénye, ami az eloszlásfüggvényt egészíti ki. Az eloszlásfüggvényekhez hasonlóan a túlélési függvényekhez is hozzárendelhető valószínűségeloszlás, és megfordítva, minden eloszlásfüggvénynek van túlélési függvénye.

Elnevezése az élettartamok vizsgálatából származik. Ebben az esetben az egyednek vagy az elemnek túl kell élnie egy időtartamot. A túlélési függvény grafikonja a túlélési görbe.

DefinícióSzerkesztés

Adva legyen egy   valószínűségeloszlás  -en, ellátva a Borel-σ-algebrával; vagy egy   valószínűségi változó. Ekkor

 

illetve

 

 , illetve   túlélési függvénye.

TulajdonságaiSzerkesztés

Az eloszlásfüggvényhez hasonlóan belátható, hogy:

  és  
  monoton csökken
  balról folytonos.

Kapcsolat az eloszlásfüggvénnyelSzerkesztés

Ha   valószínűségeloszlás, eloszlásfüggvénye   és túlélési függvénye  , akkor:

  minden  .

és minden   valószínűségi változóra

  minden  .

Ez közvetlenül következik a definíciókból és a valószínűségeloszlás normáltságából. Az eloszlásfüggvény azokat számolja, melyekre a valószínűség kisebb, mint egy adott érték, a túlélési függvény azokat, melyekre a valószínűség legalább akkora, mint az adott érték. Így az összeg valószínűsége az, hogy valamilyen értéket felvesz, azaz 1.

Emiatt a túlélési függvényből kiszámítható az eloszlásfüggvény, és megfordítva, az eloszlásfüggvényből a túlélési függvény. Ezzel belátható, hogy a fenti tulajdonságokat teljesítő függvény túlélési függvény.

Feltételes túlélési valószínűség és hátralevő élettartamSzerkesztés

Gyakran van szükség a hátralevő élettartam becslésére. Az az információ, hogy egy elem még   idő után is működőképes, megváltoztatja a valószínűség becslését. Feltét4eles valószínűség használatával kapjuk a következőket:

A feltételes túlélés valószínűsége:
 
A hátralevő élettartam:
 

ForrásokSzerkesztés

  • Klaus D. Schmidt. Maß und Wahrscheinlichkeit, 2., átolvasott, Heidelberg Dordrecht London New York: Springer-Verlag (2011) 

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben az Überlebensfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.