Közös eloszlás

(Közös eloszlásfüggvény szócikkből átirányítva)

A valószínűségszámításban a közös eloszlás egy lehetőség arra, hogy több alacsonyabb, általában egydimenziós valószínűségi mértékből konstruáljon egy magasabb dimenziós valószínűségeloszlást. Erre példa a multinomiális eloszlás. Mértékelméleti szempontból képmértékről van szó. Így valószínűségi változók közös általánosítása a valószínűségi változók eloszlásának.

DefinícióSzerkesztés

Adva legyen egy   valószínűségi mező, egy   indexhalmaz,   valószínűségi változók és az   eseményterek. Legyen

 

az alaphalmazok Descartes-szorzata, továbbá

 

a megfelelő szorzat-σ-algebra. Ekkor az   téren értelmezett

 

valószínűségi mérték definiálva van minden   halmazra. Ez az   valószínűségi változók közös eloszlása.

PéldaSzerkesztés

Legyen   valószínűségi mező, ahol

 

diszkrét egyenletes valószínűséggel az alaphalmazon. Ez megfelel egy szabályos kockával való dobásnak. Az első valószínűségi változó

 ,

ami két kockadobás összege és leképezi az   halmazt az   halmazra, továbbá  .

A másik valószínűségi változó

 

és arról szolgáltat információt, hogy az első dobott szám páros-e. Az   halmazt  -re képezi, valamint  .

A közös eloszlás valószínűségi mérték a   halmazon, ellátva a szorzat-σ-algebrával. A valószínűségi mértéket elég a generátorokra megadni, itt tehát az   típusú   eseményekre. Az egyszerűség kedvéért itt csak néhány valószínűséget adunk meg.

 
 
 
 
 
 .

EgyértelműségSzerkesztés

A valószínűségi változók eloszlását nem közvetlenül a szorzat-σ-algebrák szorzatára definiálják, hanem csak a mértékterek σ-algebráinak egyenkénti szorzataira. Mivel azonban ez generálja a szorzat-σ-algebrát, a fenti definíció egyértelműen kiterjeszthető a teljes szorzat-σ-algebrára.

Kapcsolat a függetlenséggelSzerkesztés

Valószínűségi változók közös eloszlásával vizsgálható függetlenségük. Teljesülnek a következők:

  • Az   valószínűségi változók pontosan akkor függetlenek, ha közös eloszlásuk megegyezik a szorzatmértékkel, tehát
 
  • Ennek közvetlen következménye, hogy ha a közös eloszlásfüggvény megegyeik az eloszlásfüggvények szorzatával, akkor az is ekvivalens a függetlenséggel.

Akárhány valószínűségi változó esetén minden véges részhalmazt vizsgálni kell a függetlenségre, ami megtehető a fenti kritériumok valamelyikével.

AlkalmazásokSzerkesztés

A közös eloszlásokat a többdimenziós valószínűségeloszlásokkal együtt használják a peremeloszlásokra vett feltételes eloszlások vizsgálatára. A feltételes eloszlás modellezi az előzetes tudást a valószínűségi változókról.

Származtatott fogalmakSzerkesztés

Közös eloszlásfüggvénySzerkesztés

Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényéhez hasonlóan értelmezhető a közös eloszlás. Ez egy

  függvény, melynek definíciója
  esetén.

Gyakran csak   jelöli.

Közös sűrűségfüggvénySzerkesztés

A közös sűrűségfüggvény, hasonlóan a valószínűségi változó sűrűségfüggvényéhez, ha létezik, akkor egy függvény, amire teljesül, hogy

 

Itt az indexhalmaz  .

PeremeloszlásSzerkesztés

A valószínűségi vektorváltozókhoz hasonlóan a közös eloszlások peremeloszlásai is értelmezhetők alacsonyabb dimenziós vetületként. Speciális esetként visszakapjuk az eredeti valószínűségi változók eloszlásait is.   als

 .

A peremeloszlások eloszlásfüggvényei a peremeloszlások, sűrűségfüggvényei a peremsűrűségek.

ForrásokSzerkesztés

  • Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6 
  • Christian Hesse. Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, 1., Wiesbaden: Vieweg (2003). ISBN 3-528-03183-2 

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.