Többváltozós eloszlásfüggvény

Egy többváltozós eloszlásfüggvény a valószínűségszámításban egy valós értékű függvény, melyet többdimenziós valószínűségeloszlások, azaz valószínűségi vektorváltozók eloszlásának vizsgálatára használnak. Az eloszlásfüggvény magasabb dimenziós megfelelője; az egyváltozós esethez hasonlóan egyértelműen jellemzi a valószínűségi vektorváltozókat a korrespondenciatétel szerint. Ezáltal a magasabb dimenziós valószínűségeloszlások is vizsgálhatók mértékelméleti eszközökkel.

Használják még a következő elnevezéseket: n-dimenziós eloszlásfüggvény,[1] eloszlás -en, vagy a mértékelméleti értelemben vett többváltozós eloszlásfüggvénytől való megkülönböztetésre szűkebb értelemben vett többváltozós eloszlásfüggvény.[2]

JelölésekSzerkesztés

Az  -beli   vektorok esetén az összehasonlítást koordinátánként végezzük, azaz

  akkor és csak akkor, ha   minden   indexre.

A továbbiakban   esetén

 

illetve koordinátánként

 

DefinícióSzerkesztés

A fenti jelölésekkel a definíció hasonlóvá válik az egydimenziós esethez. Ha   valószínűségeloszlás egy   valószínűségi mezőn, azaz többdimenziós valószínűségeloszlás, akkor   eloszlásfüggvénye egy   függvény,

 .

Ha     dimenziós valószínűségi változó, vagyis  , és definíciója

 .

Ekkor     (többdimenziós) eloszlásfüggvénye.

A definíció koordinátánként:

 ,

ahol  . Így a valószínűségi vektorváltozó eloszlásfüggvénye a koordinták közös eloszlásfüggvénye.

TulajdonságokSzerkesztés

Minden   esetén teljesül:

  • Minden változóban balról folytonos.
  • Téglamonoton, azaz ha  , akkor  
  • Határértékek:
  és
 

A korrespondenciatétel szerint ez megfordítható; amelyik függvény ezekkel a tulajdonságokkal bír, az eloszlásfüggvény.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 107.
  2. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 74–75.

ForrásokSzerkesztés

  • David Meintrup, Stefan Schäffler. Stochastik. Theorie und Anwendungen. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag (2005) 
  • Norbert Kusolitsch. Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung, 2., átdolgozott és bővített, Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2014) 
  • Klaus D. Schmidt. Maß und Wahrscheinlichkeit, 2., átnézett, Heidelberg Dordrecht London New York: Springer-Verlag (2011) 

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Multivariate Verteilungsfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.