Általánosított inverz eloszlásfüggvény

Az általánosított inverz eloszlásfüggvény, más néven kvantilis transzformáció vagy kvantilisfüggvény egy speciális valós függvény a valószínűségszámításban. Minden eloszlásfüggvényhez rendelhető általánosított inverz eloszlásfüggvény, ami bizonyos feltételek esetén az eloszlásfüggvény inverze. Az általánosított inverz eloszlásfüggvény minden nulla és egy közötti számhoz hozzárendeli azt a számot, ahol az eloszlásfüggvény ezt a számot túllépi.

Például, ha adva van az európaiak cipőméretének valószínűségeloszlását leíró eloszlásfüggvény, akkor a megfelelő általánosított inverz eloszlásfüggvény a 0,9 helyen azt adja meg, hogy mekkora az a cipőméret, aminél az európaiak 90%-a legfeljebb ekkora cipőt visel.

Az általánosított inverz eloszlásfüggvényt használják a kvantilisek meghatározásához. Vele határozzák meg adott eloszlásfüggvényű valószínűségi változók eloszlását. Ennek alapötletét alkalmazzák arra, hogy egyenletes eloszlású véletlen számokból adott eloszlású véletlen számokat generáljanak.

DefinícióSzerkesztés

Legyen

 

eloszlásfüggvény olyan értelemben, hogy monoton nő, balról folytonos, és léteznek az   és   határértékek.

Ekkor F általánosított inverz eloszlásfüggvénye egy   függvény,

 [1]

Megjegyzések a definícióhozSzerkesztés

Vegyük észre, hogy a definícióban nem feltétlenül olyan eloszlásfüggvény szerepel, amihez tartozik valószínűségeloszlás, hanem annak négy meghatározó tulajdonsága. Ennek célja nemcsak az általánosabb definíció, hanem azért van szükség rá, mivel az általánosított inverz eloszlásfüggvény használják eloszlásfüggvények előállítására. Emiatt a definícióban kifejezetten eloszlásfüggvényt szerepeltetni körkörös okoskodáshoz vezetne.

Az   jelölés azt sugallja, hogy ez inverz függvény, de ez nem mindig igaz. Egy eloszlásfüggvény nem feltétlenül invertálható: lehet egy szakaszon konstans. A jelölés használata mégiscsak jogos, mivel ha az inverz létezik, akkor az általánosított inverz eloszlásfüggvény az eloszlásfüggvény inverze.

Bővebb magyarázatSzerkesztés

Definíció szerint a függvény az   helyen azt az értéket veszi fel, ami a legkisebb szám, ahol az eloszlásfüggvény túllépi az   értéket.

Ha az eloszlásfüggvény folytonos, akkor az általánosított inverz eloszlásfüggvény megkapható a következőképpen: Húzzunk   távolságban párhuzamost az x tengellyel. Ez egy pontban vagy intervallumban metszi az eloszlásfüggvényt. Ha a metszéspont koordinátái  , akkor az általánosított inverz eloszlásfüggvény az   értéket veszi fel az   helyen. Ha a metszet egy intervallum, akkor a legkisebb   koordináta lesz az érték.

PéldaSzerkesztés

Tekintsük példaként az exponenciális eloszlást. Ennek eloszlásfüggvénye

 

ahol   pozitív. Az eloszlásfüggvény szigorúan monoton nő az   szakaszon, így bijektív; és ezt az intervallumot a   szakaszra képezi. Ezért egyértelműen létezik egy   függvény, amit az

 

egyenletet  -re megoldva kapunk. Ennek megoldása az

  általánosított inverz eloszlásfüggvény.

Többnyire nem lehet ezzel a módszerrel kiszámítani az általánosított inverz eloszlásfüggvényt. Diszkrét vagy vegyes eloszlások esetén az eloszlásfüggvény nem invertálható. Még invertálható esetben is előfordulhat, hogy nem tudjuk kifejezni az inverz függvényt zárt alakban. Erre példa a normális eloszlás, melynek inverz függvényét numerikusan számolják.

TulajdonságokSzerkesztés

Az általánosított inverz eloszlásfüggvény balról folytonos, monoton növő függvény. Ezzel valószínűségi változónak tekinthető a   valószínűségi mezőn,   szerint. Ha egy   teret ellátjuk az egyenletes   eloszlással, vagy ekvivalensen a Lebesgue-mértékkel, akkor az   valószínűségi változó eloszlása az  -en valószínűségi mérték  -en, és eloszlásfüggvénye  .

A valós számok minden   valószínűségi mértéke felfogható egy valószínűségi változó eloszlásának. Ha   eloszlásfüggvényét   jelöli, akkor ilyen eloszlású az

 

valószínűségi változó.

AlkalmazásokSzerkesztés

Adott eloszlású valószínűségi változók konstrukciójaSzerkesztés

A valószínűségi változókat mértékterek mérhető leképezéseiként vezetik be. Ha az alaptéren még egy valószínűségi mérték is definiálva van, akkor eloszlása definiálható. A további absztrakcióval azonban az alaptér és a hozzá tartozó valószínűségi mérték háttérbe szorul az eloszlásfüggvénnyel szemben. Megmutatható, hogy minden adott eloszlású valószínűségi változó kiegészíthető megfelelő, valószínűségi mértékkel ellátott alaphalmazon definiált valószínűségi változóvá. Az általánosított inverz eloszlásfüggvény valós eloszlások esetén további argumentumot szállít: Adott eloszlásfüggvényű valószínűségi változó felfogható a nulla-egy intervallumon értelmezett valószínűségi változónak, folytonos egyenletes eloszlással.[2] Emiatt nem kell foglalkozni a valószínűségi mezővel, amikor valószínűségi változókról és eloszlásukról van szó.

Független valószínűségi változók konstrukciójaSzerkesztés

A fenti konstrukciót arra is használják, hogy megmutassák független valószínűségi változók létezését. Először approximációs érveléssel mutatják meg, hogy vannak a   intervallumon független valószínűségi változók. Általánosított inverz eloszlásfüggvénnyel komponálva megőrződik a függetlenség, és a valószínűségi változók eloszlása is a kívánt lesz.[3]

Kvantilisek meghatározásaSzerkesztés

Ha adva van egy   eloszlás, vagy egy   valószínűségi változó, aminek eloszlása  , akkor a hozzá tartozó   általánosított inverz eloszlásfüggvény az   az  -kvantilist adja. Ez közvetlenül adódik a definícióból.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 113.
  2. Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013) 
  3. Georgii: Stochastik. 2009, S. 72–73.

ForrásokSzerkesztés

  • Norbert Kusolitsch. Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung, 2., bővített és átdolgozott, Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2014) 
  • Hans-Otto Georgii. Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4., Berlin: Walter de Gruyter (2009) 

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.