Karakterisztikus függvény (valószínűségszámítás)

komplex értékű függvény a valószínűségszámításban

A karakterisztikus függvény a valószínűségszámításban egy speciális, komplex értékű függvény, ami véges mértékekhez vagy szűkebb értelemben valószínűségi mértékekhez, illetve eloszlásokhoz rendelhető hozzá. A hozzárendelés bijektív, a karakterisztikus függvény meghatározza az eloszlást.

Jelentőségét az adja, hogy a valószínűségeloszlások egyes tulajdonságait könnyebb megismerni a karakterisztikus függvényből, mint az eloszlásból vagy más függvényekből. Így a valószínűségi mértékek konvolúciójára a karakterisztikus függvények szorzatából lehet következtetni.

Definíció Szerkesztés

Legyen   véges mérték  -en. Ekkor   karakterisztikus függvénye egy

 

komplex értékű függvény:

 

Ha  , akkor ugyanez a definíció érvényes. Ha   valószínűségi változó, és eloszlása  , akkor karakterisztikus függvénye

 .

Speciális esetek:

 .
  • Ha  -nek van valószínűségi függvénye, és valószínűségi függvénye  , akkor
 .

Elemi példák Szerkesztés

Ha   Poisson-eloszlású, akkor   valószínűségi függvénye

 .

A valószínűségi függvényt használó kifejezéssel

 

Ha     paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó,   valószínűségi függvénye

 

Ezzel

 

További példák majd táblázatban lesznek megadva.

Tulajdonságai Szerkesztés

 
Egy (–1,1) szakaszon folytonos egyenletes eloszlású valószínűségi változó karakterisztikus függvénye a sinc függvény. Mivel ez az eloszlás szimmetrikus, azért karakterisztikus függvénye valós értékű. Nem szimmetrikus eloszlások esetén nem ez a helyzet.

Létezés Szerkesztés

Minden véges mértéknek, így minden valószínűségi mértéknek és eloszlásnak van karakterisztikus függvénye. Az integrál mindig konvergens, mivel

 .

Korlátosság Szerkesztés

A karakterisztikus függvény mindig korlátos, teljesül, hogy

 .

Szimmetria Szerkesztés

A   karakterisztikus függvény pontosan akkor valós, ha   eloszlása szimmetrikus, különben hermitikus, azaz

 .

Folytonosság Szerkesztés

A karakterisztikus függvények egyenletesen folytonosak.

Jellemzése Szerkesztés

Érdekes kérdés, hogy mely függvények lehetnek karakterisztikus függvények. Pólya tétele elégséges kritériumokat ad: Legyen az   függvény olyan, hogy:

  •  
  • konvex az   félegyenesen, továbbá
  • folytonos páros függvény,
  •  

Ekkor van valószínűségi mérték, aminek   karakterisztikus függvénye.

Szükséges és elégséges kritériumot Bochner tétele ad: Egy folytonos :  függvény akkor és csak akkor karakterisztikus függvény, ha   pozitív szemidefinit és  .

Kapcsolatok más függvényekkel Szerkesztés

Lineáris transzformáció Szerkesztés

    minden valós   számra.

Sűrűségfüggvény Szerkesztés

Ha   integrálható, akkor   sűrűségfüggvénye rekonstruálható, mint

 

Momentumok Szerkesztés

    minden   természetes számra, ha  .

Speciálisan

 
 

Ha egy   esetén az   várható érték véges, akkor    -szer folytonosan differenciálható, és   körül Taylor-sorba fehthető:

 

Speciálisan, ha   és  :

 

Sűrűségfüggvények konvolúciója Szerkesztés

Ha   és   független valószínűségi változók, akkor   karakterisztikus függvénye

 

mivel a függetlenség miatt

 

Ugyanolyan eloszlású, független valószínűségi változók Szerkesztés

Legyenek   független valószínűségi változók ugyanabból az eloszlásból, és   szintén valószínűségi változó, aminek értékei  -ból kerülnek ki, és minden  -től független, ekkor

 

az     valószínűséggeneráló függvényéből és   karakterisztikus függvényéből számítható:

 .

Egyértelműség Szerkesztés

Ha  ,   valószínűségi változók, és   minden  -re, akkor  , azaz   és   ugyanolyan eloszlású. Ezzel egyes eloszlások konvolúciója könnyebben meghatározható.

Ebből lehet következtetni Lévy folytonossági tételére: Az   valószínűségi változók sorozata pontosan akkor konvergens eloszlásban, ha   minden   esetén. Ezt a centrális határeloszlás tételéhez lehet felhasználni.

Példák Szerkesztés

Eloszlás   karakterisztikus függvény
Diszkrét eloszlások
Binomiális eloszlás    
Poisson-eloszlás    
Negatív binomiális eloszlás    
Abszolút folytonos eloszlások
  Standard normális eloszlás  
  Normális eloszlás  
  Folytonos egyenletes eloszlás  
  Standard Cauchy-eloszlás  
  Gamma-eloszlás  

Általánosabb definíciók Szerkesztés

Valószínűségi vektorváltozók Szerkesztés

Valószínűségi vektorváltozókra is definiálható a karakterisztikus függvény. Legyen     dimenziós valószínűségi vektorváltozó. Ekkor

 

az   karakterisztikus függvénye, ahol   a skaláris szorzás.

Tetszőleges mértékek Szerkesztés

Tetszőleges mértékek esetén kompakt tartójú, korlátos, mérhető, valós értékű függvényekre értelmezhető a karakterisztikus függvény, mint

 

ahol   a mérték. A mérték egyértelmű, az összes ilyen függvény karakterisztikus függvénye meghatározza.

Kapcsolat más generátorfüggvényekkel Szerkesztés

A valószínűségszámítás további fontos generátorfüggvényei a valószínűséggeneráló függvény és a momentumgeneráló függvény.

Egy   értékű   valószínűségi változó karakterisztikus függvénye  . Emiatt  .

Egy valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye  . Eszerint, ha létezik a momentumgeneráló függvény, akkor  . A karakterisztikus függvénnyel szemben ez nem mindig teljesül.

A kumulánsgeneráló függvény a momentumgeneráló függvény logaritmusa. Belőle származtatják a kumulánsokat.

Források Szerkesztés

  • Eugen Lukacs: Characteristic functions. Griffin, London 1960 (2., erweiterte Auflage 1970), ISBN 0-85264-170-2
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8

Fordítás Szerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Charakteristische Funktion (Stochastik) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.