Karakterisztikus függvény (valószínűségszámítás)

A karakterisztikus függvény a valószínűségszámításban egy speciális, komplex értékű függvény, ami véges mértékekhez vagy szűkebb értelemben valószínűségi mértékekhez, illetve eloszlásokhoz rendelhető hozzá. A hozzárendelés bijektív, a karakterisztikus függvény meghatározza az eloszlást.

Jelentőségét az adja, hogy a valószínűségeloszlások egyes tulajdonságait könnyebb megismerni a karakterisztikus függvényből, mint az eloszlásból vagy más függvényekből. Így a valószínűségi mértékek konvolúciójára a karakterisztikus függvények szorzatából lehet következtetni.

Definíció

Legyen $\mu$ véges mérték $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$-en. Ekkor $\mu$ karakterisztikus függvénye egy

$\varphi _{\mu }\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$

komplex értékű függvény:

$\varphi _{\mu }(t):=\int _{\mathbb {R} }\exp(\mathrm {i} tx)\mathrm {d} \mu (x)$

Ha $\mu =P$, akkor ugyanez a definíció érvényes. Ha $X$ valószínűségi változó, és eloszlása $P_{X}$, akkor karakterisztikus függvénye

$\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} (\exp(\mathrm {i} tX))$.

Speciális esetek:

• Ha $P_{X}$-nek van sűrűségfüggvénye a Riemann-integrál szerint és sűrűségfüggvénye $f_{X}(x)$, akkor

$\varphi _{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\exp(\mathrm {i} tx)\,\mathrm {d} x$.

• Ha $P_{X}$-nek van valószínűségi függvénye, és valószínűségi függvénye $p_{X}$, akkor

$\varphi _{X}(t)=\sum _{k=1}^{\infty }\exp(\mathrm {i} tx_{k})p_{X}(x_{k})$.

Elemi példák

Ha $X$ Poisson-eloszlású, akkor $P_{X}$ valószínűségi függvénye

$p_{\lambda }(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }\quad {\text{ha}}\quad k\in \mathbb {N}$.

A valószínűségi függvényt használó kifejezéssel

$\varphi _{X}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }\exp(\mathrm {i} tk){\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }=\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left(\lambda e^{it}\right)^{k}}{k!}}=\mathrm {e} ^{\lambda (e^{it}-1)}$

Ha $Y$ $\lambda$ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó, $P_{Y}$ valószínűségi függvénye

$f_{\lambda }(x)={\begin{cases}\displaystyle \lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}$

Ezzel

$\varphi _{Y}(t)=\int _{0}^{\infty }e^{\mathrm {i} tx}\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}\mathrm {d} x=\lambda \int _{0}^{\infty }e^{x(\mathrm {i} t-\lambda )}\mathrm {d} x={\frac {\lambda }{\lambda -\mathrm {i} t}}$

További példák majd táblázatban lesznek megadva.

Tulajdonságai

Egy (–1,1) szakaszon folytonos egyenletes eloszlású valószínűségi változó karakterisztikus függvénye a sinc függvény. Mivel ez az eloszlás szimmetrikus, azért karakterisztikus függvénye valós értékű. Nem szimmetrikus eloszlások esetén nem ez a helyzet.

Létezés

Minden véges mértéknek, így minden valószínűségi mértéknek és eloszlásnak van karakterisztikus függvénye. Az integrál mindig konvergens, mivel

$\left|e^{\mathrm {i} tx}\right|=1$.

Korlátosság

A karakterisztikus függvény mindig korlátos, teljesül, hogy

$\left|\varphi _{X}(t)\right|\leq \varphi _{X}(0)=1$.

Szimmetria

A $\varphi _{X}$ karakterisztikus függvény pontosan akkor valós, ha $X$ eloszlása szimmetrikus, különben hermitikus, azaz

$\varphi _{X}(-t)={\overline {\varphi _{X}(t)}}$.

Folytonosság

A karakterisztikus függvények egyenletesen folytonosak.

Jellemzése

Érdekes kérdés, hogy mely függvények lehetnek karakterisztikus függvények. Pólya tétele elégséges kritériumokat ad: Legyen az $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ függvény olyan, hogy:

• $f\colon \mathbb {R} \to [0,1]$
• konvex az $[0,\infty )$ félegyenesen, továbbá
• folytonos páros függvény,
• $f(0)=1$

Ekkor van valószínűségi mérték, aminek $f$ karakterisztikus függvénye.

Szükséges és elégséges kritériumot Bochner tétele ad: Egy folytonos :$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ függvény akkor és csak akkor karakterisztikus függvény, ha $f$ pozitív szemidefinit és $f(0)=1$.

Kapcsolatok más függvényekkel

Lineáris transzformáció

$\varphi _{aX+b}(t)=e^{\mathrm {i} tb}\varphi _{X}(at)$   minden valós $a,b\in \mathbb {R} \,.$ számra.

Sűrűségfüggvény

Ha $\varphi _{X}$ integrálható, akkor $X$ sűrűségfüggvénye rekonstruálható, mint

$f_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-\mathrm {i} tx}\varphi _{X}(t)\,\mathrm {d} t\,.$

Momentumok

$\operatorname {E} (X^{k})={\frac {\varphi _{X}^{(k)}(0)}{\mathrm {i} ^{k}}}$   minden $k\in \mathbb {N}$ természetes számra, ha $\operatorname {E} (|X|^{k})<\infty$.

Speciálisan

$\operatorname {E} (X)={\frac {\varphi _{X}'(0)}{\mathrm {i} }}\,,$

$\operatorname {E} (X^{2})=-\varphi _{X}''(0)\,.$

Ha egy $n\in \mathbb {N}$ esetén az $\operatorname {E} (|X|^{n})$ várható érték véges, akkor $\varphi _{X}$ $n$-szer folytonosan differenciálható, és $0$ körül Taylor-sorba fehthető:

$\varphi _{X}(t)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {\varphi _{X}^{(k)}(0)}{k!}}t^{k}+R_{n+1}(t)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {(\mathrm {i} t)^{k}}{k!}}\operatorname {E} (X^{k})+R_{n+1}(t)\,.$

Speciálisan, ha $\operatorname {E} (X)=0$ és $\operatorname {Var} (X)=1$:

$\varphi _{X}(t)=1-{\frac {1}{2}}t^{2}+R_{3}(t)\quad {\text{ahol}}\quad \lim \limits _{t\rightarrow 0}{\frac {R_{3}(t)}{t^{2}}}=0\,.$

Sűrűségfüggvények konvolúciója

Ha $X_{1}$ és $X_{2}$ független valószínűségi változók, akkor $Y=X_{1}+X_{2}$ karakterisztikus függvénye

$\varphi _{Y}(t)=\varphi _{X_{1}}(t)\,\varphi _{X_{2}}(t)\,,$

mivel a függetlenség miatt

$\varphi _{Y}(t)=\operatorname {E} \left(e^{\mathrm {i} t(X_{1}+X_{2})}\right)=\operatorname {E} \left(e^{\mathrm {i} tX_{1}}e^{\mathrm {i} tX_{2}}\right)=\operatorname {E} \left(e^{\mathrm {i} tX_{1}}\right)\operatorname {E} \left(e^{\mathrm {i} tX_{2}}\right)=\varphi _{X_{1}}(t)\,\varphi _{X_{2}}(t)\,.$

Ugyanolyan eloszlású, független valószínűségi változók

Legyenek $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ független valószínűségi változók ugyanabból az eloszlásból, és $N$ szintén valószínűségi változó, aminek értékei $\mathbb {N} _{0}$-ból kerülnek ki, és minden $X_{i}$-től független, ekkor

$S:=\sum _{i=1}^{N}X_{i}$

az $N$ $m_{N}(t)$ valószínűséggeneráló függvényéből és $X_{1}$ karakterisztikus függvényéből számítható:

$\varphi _{S}(t)=m_{N}(\varphi _{X_{1}}(t))$.

Egyértelműség

Ha $X$, $Y$ valószínűségi változók, és $\varphi _{X}(t)=\varphi _{Y}(t)$ minden $t\in \mathbb {R}$-re, akkor $X{\overset {d}{=}}Y$, azaz $X$ és $Y$ ugyanolyan eloszlású. Ezzel egyes eloszlások konvolúciója könnyebben meghatározható.

Ebből lehet következtetni Lévy folytonossági tételére: Az $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ valószínűségi változók sorozata pontosan akkor konvergens eloszlásban, ha $\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\varphi _{X_{n}}(t)=\varphi _{X}(t)$ minden $t\in \mathbb {R}$ esetén. Ezt a centrális határeloszlás tételéhez lehet felhasználni.

Példák

Eloszlás	$\varphi _{X}(t)$ karakterisztikus függvény
Diszkrét eloszlások
Binomiális eloszlás $X\sim \operatorname {Bin} (n,p)$	$\varphi _{X}(t)=\left(pe^{\mathrm {i} t}+1-p\right)^{n}$
Poisson-eloszlás $X\sim \operatorname {Poi} (\lambda )$	$\varphi _{X}(t)=e^{\lambda \left(e^{\mathrm {i} t}-1\right)}$
Negatív binomiális eloszlás $X\sim \operatorname {NegBin} (r,p)$	$\varphi _{X}(t)=\left({\frac {1-pe^{\mathrm {i} t}}{1-p}}\right)^{-r}$
Abszolút folytonos eloszlások
$X\sim N(0,1)$ Standard normális eloszlás	$\varphi _{X}(t)=e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}$
$X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ Normális eloszlás	$\varphi _{X}(t)=e^{\mathrm {i} t\mu }e^{-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}$
$X\sim U(a,b)$ Folytonos egyenletes eloszlás	$\varphi _{X}(t)={\frac {e^{\mathrm {i} bt}-e^{\mathrm {i} at}}{\mathrm {i} (b-a)t}}$
$X\sim \;C(0,1)$ Standard Cauchy-eloszlás	$\varphi _{X}(t)=e^{-|t|}$
$X\sim \;G(p,b)$ Gamma-eloszlás	$\varphi _{X}(t)=\left({\frac {b}{b-\mathrm {i} t}}\right)^{p}$

Általánosabb definíciók

Valószínűségi vektorváltozók

Valószínűségi vektorváltozókra is definiálható a karakterisztikus függvény. Legyen $\mathbf {X} =(X_{1},\dotsc ,X_{\ell })$ $\ell$ dimenziós valószínűségi vektorváltozó. Ekkor

$\varphi _{\mathbf {X} }(t)=\varphi _{\mathbf {X} }(t_{1},\dots ,t_{l})=\operatorname {E} (e^{i\langle t,\mathbf {X} \rangle })=\operatorname {E} \left(\prod _{j=1}^{\ell }e^{it_{j}X_{j}}\right)$

az $\mathbf {X} =(X_{1},\dotsc ,X_{\ell })$ karakterisztikus függvénye, ahol $\langle t,\mathbf {X} \rangle =\sum \limits _{j=1}^{\ell }t_{j}X_{j}$ a skaláris szorzás.

Tetszőleges mértékek

Tetszőleges mértékek esetén kompakt tartójú, korlátos, mérhető, valós értékű függvényekre értelmezhető a karakterisztikus függvény, mint

$\varphi _{X}(f)=\operatorname {E} \left(\exp \left(i\int f\mathrm {d} X\right)\right)$

ahol $X$ a mérték. A mérték egyértelmű, az összes ilyen függvény karakterisztikus függvénye meghatározza.

Kapcsolat más generátorfüggvényekkel

A valószínűségszámítás további fontos generátorfüggvényei a valószínűséggeneráló függvény és a momentumgeneráló függvény.

Egy $\mathbb {N} _{0}$ értékű $X$ valószínűségi változó karakterisztikus függvénye $m_{X}(t)=\operatorname {E} (t^{X})$. Emiatt $m_{X}(e^{it})=\varphi _{X}(t)$.

Egy valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye $M_{X}(t):=\operatorname {E} (e^{tX})$. Eszerint, ha létezik a momentumgeneráló függvény, akkor $M_{iX}(t)=M_{X}(it)=\varphi _{X}(t)$. A karakterisztikus függvénnyel szemben ez nem mindig teljesül.

A kumulánsgeneráló függvény a momentumgeneráló függvény logaritmusa. Belőle származtatják a kumulánsokat.

Források

• Eugen Lukacs: Characteristic functions. Griffin, London 1960 (2., erweiterte Auflage 1970), ISBN 0-85264-170-2
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Charakteristische Funktion (Stochastik) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.