Karakterisztikus függvény (valószínűségszámítás)
A karakterisztikus függvény a valószínűségszámításban egy speciális, komplex értékű függvény, ami véges mértékekhez vagy szűkebb értelemben valószínűségi mértékekhez, illetve eloszlásokhoz rendelhető hozzá. A hozzárendelés bijektív, a karakterisztikus függvény meghatározza az eloszlást.
Jelentőségét az adja, hogy a valószínűségeloszlások egyes tulajdonságait könnyebb megismerni a karakterisztikus függvényből, mint az eloszlásból vagy más függvényekből. Így a valószínűségi mértékek konvolúciójára a karakterisztikus függvények szorzatából lehet következtetni.
DefinícióSzerkesztés
Legyen véges mérték -en. Ekkor karakterisztikus függvénye egy
komplex értékű függvény:
Ha , akkor ugyanez a definíció érvényes. Ha valószínűségi változó, és eloszlása , akkor karakterisztikus függvénye
- .
Speciális esetek:
- Ha -nek van sűrűségfüggvénye a Riemann-integrál szerint és sűrűségfüggvénye , akkor
- .
- Ha -nek van valószínűségi függvénye, és valószínűségi függvénye , akkor
- .
Elemi példákSzerkesztés
Ha Poisson-eloszlású, akkor valószínűségi függvénye
- .
A valószínűségi függvényt használó kifejezéssel
Ha paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó, valószínűségi függvénye
Ezzel
További példák majd táblázatban lesznek megadva.
TulajdonságaiSzerkesztés
LétezésSzerkesztés
Minden véges mértéknek, így minden valószínűségi mértéknek és eloszlásnak van karakterisztikus függvénye. Az integrál mindig konvergens, mivel
- .
KorlátosságSzerkesztés
A karakterisztikus függvény mindig korlátos, teljesül, hogy
- .
SzimmetriaSzerkesztés
A karakterisztikus függvény pontosan akkor valós, ha eloszlása szimmetrikus, különben hermitikus, azaz
- .
FolytonosságSzerkesztés
A karakterisztikus függvények egyenletesen folytonosak.
JellemzéseSzerkesztés
Érdekes kérdés, hogy mely függvények lehetnek karakterisztikus függvények. Pólya tétele elégséges kritériumokat ad: Legyen az függvény olyan, hogy:
- konvex az félegyenesen, továbbá
- folytonos páros függvény,
Ekkor van valószínűségi mérték, aminek karakterisztikus függvénye.
Szükséges és elégséges kritériumot Bochner tétele ad: Egy folytonos : függvény akkor és csak akkor karakterisztikus függvény, ha pozitív szemidefinit és .
Kapcsolatok más függvényekkelSzerkesztés
Lineáris transzformációSzerkesztés
- minden valós számra.
SűrűségfüggvénySzerkesztés
Ha integrálható, akkor sűrűségfüggvénye rekonstruálható, mint
MomentumokSzerkesztés
- minden természetes számra, ha .
Speciálisan
Ha egy esetén az várható érték véges, akkor -szer folytonosan differenciálható, és körül Taylor-sorba fehthető:
Speciálisan, ha és :
Sűrűségfüggvények konvolúciójaSzerkesztés
Ha és független valószínűségi változók, akkor karakterisztikus függvénye
mivel a függetlenség miatt
Ugyanolyan eloszlású, független valószínűségi változókSzerkesztés
Legyenek független valószínűségi változók ugyanabból az eloszlásból, és szintén valószínűségi változó, aminek értékei -ból kerülnek ki, és minden -től független, ekkor
az valószínűséggeneráló függvényéből és karakterisztikus függvényéből számítható:
- .
EgyértelműségSzerkesztés
Ha , valószínűségi változók, és minden -re, akkor , azaz és ugyanolyan eloszlású. Ezzel egyes eloszlások konvolúciója könnyebben meghatározható.
Ebből lehet következtetni Lévy folytonossági tételére: Az valószínűségi változók sorozata pontosan akkor konvergens eloszlásban, ha minden esetén. Ezt a centrális határeloszlás tételéhez lehet felhasználni.
PéldákSzerkesztés
Általánosabb definíciókSzerkesztés
Valószínűségi vektorváltozókSzerkesztés
Valószínűségi vektorváltozókra is definiálható a karakterisztikus függvény. Legyen dimenziós valószínűségi vektorváltozó. Ekkor
az karakterisztikus függvénye, ahol a skaláris szorzás.
Tetszőleges mértékekSzerkesztés
Tetszőleges mértékek esetén kompakt tartójú, korlátos, mérhető, valós értékű függvényekre értelmezhető a karakterisztikus függvény, mint
ahol a mérték. A mérték egyértelmű, az összes ilyen függvény karakterisztikus függvénye meghatározza.
Kapcsolat más generátorfüggvényekkelSzerkesztés
A valószínűségszámítás további fontos generátorfüggvényei a valószínűséggeneráló függvény és a momentumgeneráló függvény.
Egy értékű valószínűségi változó karakterisztikus függvénye . Emiatt .
Egy valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye . Eszerint, ha létezik a momentumgeneráló függvény, akkor . A karakterisztikus függvénnyel szemben ez nem mindig teljesül.
A kumulánsgeneráló függvény a momentumgeneráló függvény logaritmusa. Belőle származtatják a kumulánsokat.
ForrásokSzerkesztés
- Eugen Lukacs: Characteristic functions. Griffin, London 1960 (2., erweiterte Auflage 1970), ISBN 0-85264-170-2
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8
FordításSzerkesztés
Ez a szócikk részben vagy egészben a Charakteristische Funktion (Stochastik) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.