Főmenü megnyitása

Karakterisztikus függvény (valószínűségszámítás)

komplex értékű függvény a valószínűségszámításban

A karakterisztikus függvény a valószínűségszámításban egy speciális, komplex értékű függvény, ami véges mértékekhez vagy szűkebb értelemben valószínűségi mértékekhez, illetve eloszlásokhoz rendelhető hozzá. A hozzárendelés bijektív, a karakterisztikus függvény meghatározza az eloszlást.

Jelentőségét az adja, hogy a valószínűségeloszlások egyes tulajdonságait könnyebb megismerni a karakterisztikus függvényből, mint az eloszlásból vagy más függvényekből. Így a valószínűségi mértékek konvolúciójára a karakterisztikus függvények szorzatából lehet következtetni.

DefinícióSzerkesztés

Legyen   véges mérték  -en. Ekkor   karakterisztikus függvénye egy

 

komplex értékű függvény:

 

Ha  , akkor ugyanez a definíció érvényes. Ha   valószínűségi változó, és eloszlása  , akkor karakterisztikus függvénye

 .

Speciális esetek:

 .
  • Ha  -nek van valószínűségi függvénye, és valószínűségi függvénye  , akkor
 .

Elemi példákSzerkesztés

Ha   Poisson-eloszlású, akkor   valószínűségi függvénye

 .

A valószínűségi függvényt használó kifejezéssel

 

Ha     paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó,   valószínűségi függvénye

 

Ezzel

 

További példák majd táblázatban lesznek megadva.

TulajdonságaiSzerkesztés

 
Egy (–1,1) szakaszon folytonos egyenletes eloszlású valószínűségi változó karakterisztikus függvénye a sinc függvény. Mivel ez az eloszlás szimmetrikus, azért karakterisztikus függvénye valós értékű. Nem szimmetrikus eloszlások esetén nem ez a helyzet.

LétezésSzerkesztés

Minden véges mértéknek, így minden valószínűségi mértéknek és eloszlásnak van karakterisztikus függvénye. Az integrál mindig konvergens, mivel

 .

KorlátosságSzerkesztés

A karakterisztikus függvény mindig korlátos, teljesül, hogy

 .

SzimmetriaSzerkesztés

A   karakterisztikus függvény pontosan akkor valós, ha   eloszlása szimmetrikus, különben hermitikus, azaz

 .

FolytonosságSzerkesztés

A karakterisztikus függvények egyenletesen folytonosak.

JellemzéseSzerkesztés

Érdekes kérdés, hogy mely függvények lehetnek karakterisztikus függvények. Pólya tétele elégséges kritériumokat ad: Legyen az   függvény olyan, hogy:

  •  
  • konvex az   félegyenesen, továbbá
  • folytonos páros függvény,
  •  

Ekkor van valószínűségi mérték, aminek   karakterisztikus függvénye.

Szükséges és elégséges kritériumot Bochner tétele ad: Egy folytonos :  függvény akkor és csak akkor karakterisztikus függvény, ha   pozitív szemidefinit és  .

Kapcsolatok más függvényekkelSzerkesztés

Lineáris transzformációSzerkesztés

    minden valós   számra.

SűrűségfüggvénySzerkesztés

Ha   integrálható, akkor   sűrűségfüggvénye rekonstruálható, mint

 

MomentumokSzerkesztés

    minden   természetes számra, ha  .

Speciálisan

 
 

Ha egy   esetén az   várható érték véges, akkor    -szer folytonosan differenciálható, és   körül Taylor-sorba fehthető:

 

Speciálisan, ha   és  :

 

Sűrűségfüggvények konvolúciójaSzerkesztés

Ha   és   független valószínűségi változók, akkor   karakterisztikus függvénye

 

mivel a függetlenség miatt

 

Ugyanolyan eloszlású, független valószínűségi változókSzerkesztés

Legyenek   független valószínűségi változók ugyanabból az eloszlásból, és   szintén valószínűségi változó, aminek értékei  -ból kerülnek ki, és minden  -től független, ekkor

 

az     valószínűséggeneráló függvényéből és   karakterisztikus függvényéből számítható:

 .

EgyértelműségSzerkesztés

Ha  ,   valószínűségi változók, és   minden  -re, akkor  , azaz   és   ugyanolyan eloszlású. Ezzel egyes eloszlások konvolúciója könnyebben meghatározható.

Ebből lehet következtetni Lévy folytonossági tételére: Az   valószínűségi változók sorozata pontosan akkor konvergens eloszlásban, ha   minden   esetén. Ezt a centrális határeloszlás tételéhez lehet felhasználni.

PéldákSzerkesztés

Eloszlás   karakterisztikus függvény
Diszkrét eloszlások
Binomiális eloszlás    
Poisson-eloszlás    
Negatív binomiális eloszlás    
Abszolút folytonos eloszlások
  Standard normális eloszlás  
  Normális eloszlás  
  Folytonos egyenletes eloszlás  
  Standard Cauchy-eloszlás  
  Gamma-eloszlás  

Általánosabb definíciókSzerkesztés

Valószínűségi vektorváltozókSzerkesztés

Valószínűségi vektorváltozókra is definiálható a karakterisztikus függvény. Legyen     dimenziós valószínűségi vektorváltozó. Ekkor

 

az   karakterisztikus függvénye, ahol   a skaláris szorzás.

Tetszőleges mértékekSzerkesztés

Tetszőleges mértékek esetén kompakt tartójú, korlátos, mérhető, valós értékű függvényekre értelmezhető a karakterisztikus függvény, mint

 

ahol   a mérték. A mérték egyértelmű, az összes ilyen függvény karakterisztikus függvénye meghatározza.

Kapcsolat más generátorfüggvényekkelSzerkesztés

A valószínűségszámítás további fontos generátorfüggvényei a valószínűséggeneráló függvény és a momentumgeneráló függvény.

Egy   értékű   valószínűségi változó karakterisztikus függvénye  . Emiatt  .

Egy valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye  . Eszerint, ha létezik a momentumgeneráló függvény, akkor  . A karakterisztikus függvénnyel szemben ez nem mindig teljesül.

A kumulánsgeneráló függvény a momentumgeneráló függvény logaritmusa. Belőle származtatják a kumulánsokat.

ForrásokSzerkesztés

  • Eugen Lukacs: Characteristic functions. Griffin, London 1960 (2., erweiterte Auflage 1970), ISBN 0-85264-170-2
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Charakteristische Funktion (Stochastik) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.