Diszkrét eloszlás

Azoknak a valószínűségi változóknak nevezzük az eloszlását diszkrétnek, melyek 1 valószínűséggel vesznek fel értékeket egy olyan halmazból, aminek megszámlálhatóan sok eleme van.

Formálisan: az X valószínűségi változó eloszlását diszkrétnek nevezzük ⇔ ∃ H = {x₁, x₂, … , x_i, …} : P(X ∈ H) = 1. (Nyilván |H| = ℵ₀.)

Szemléletesen ez azt jelenti, hogy a diszkrét eloszlású valószínűségi változó olyan, amivel kapcsolatban fel lehet sorolni, hogy milyen értékeket tud felvenni (0-nál nagyobb valószínűséggel). Ilyen például az a valószínűségi változó ami azt írja le, hogy egy lottó sorsoláson mi lesz az elsőnek kihúzott szám. A felvehető értékek az 1 és 90 közötti egész számok.

Nem diszkrét eloszlású például az a valószínűségi változó, ami a [0,1] intervallumon egyenletes eloszlású, vagyis ami 0 és 1 között bármilyen valós értéket felvehet és bármelyik [0,1] által tartalmazott intervallumba pont olyan valószínűséggel esik, mint az adott intervallum hossza. Ez a valószínűségi változó ugyanis bármely x_i ∈ [0,1] értéket 0 valószínűséggel veszi fel. Bárhogy választunk ki megszámlálható sok ilyen elemet, az együttes valószínűségük továbbra is 0 lesz. Ha viszont úgy választunk egy részhalmazt [0,1]-ből, hogy abból a részhalmazból 1 valószínűséggel vegyen fel értéket, akkor megmutatható, hogy ennek a részhalmaznak az elemei nem sorolhatóak fel, vagyis nem alkotnak megszámlálható halmazt.

A diszkrét eloszlású valószínűségi változók a valószínűségi változók egy igen fontos osztályát alkotják. Speciális tulajdonságuknál fogva matematikai szempontól jól viselkednek. Például a valószínűségi változó várható értékének általános

$\int _{\Omega }X\,d\mathbf {P} ,$ vagy $\int _{-\infty }^{+\infty }X\,dF(x).$

képlete helyett (mely mérték szerinti integrál vagy Lebesgue-Stieltjes-integrál kiszámítását igényelné) a diszkrét eloszlású változók esetében használhatjuk a

$\mathbf {E} (X)=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}p_{i}$

képletet, (ahol p_i annak a valószínűségét jelöli, hogy a valószínűségi változó az x_i értéket veszi fel) ami többnyire sokkal egyszerűbben számítható.

Megjegyzések

• A diszkrét eloszlások gyakran a folytonos eloszlások alternatíváiként jelennek meg a valószínűségszámításban. Sokszor találkozhatunk azzal, hogy egy témát először folytonos, majd diszkrét esetre fejtenek ki, vagy fordítva. Ezzel kapcsolatban érdemes megjegyezni, hogy a folytonos és diszkrét eloszlások nem adják az eloszlások osztályozását, vagyis röviden szólva nem csak folytonos és diszkrét eloszlások vannak.

• Szokták a diszkrét eloszlású valószínűségi változókat úgy is definiálni, mint azok a valószínűségi változók, amik egy megszámlálhatóan sok elemű halmazból veszik fel értékeiket. Ha megfigyeljük, a szócikkben adott definíció ennél tágabb, hisz megengedi azt, hogy legyenek esetleg még olyan értékek, melyeket a valószínűségi változó felvehet, ám 0 valószínűséggel. Ezekkel a 0 valószínűségű értékekkel együtt lehetséges, hogy a valószínűségi változó által felvehető értékek halmaza már nem megszámlálható halmaz, hanem annál nagyobb számosságú. A legtöbb valószínűségszámítási tétel és eredmény szempontjából nem jelent lényeges különbséget az, ha megengedjük ezeket az együttesen is csak 0 valószínűséggel előforduló eseteket. (Azon múlik, hogy nem okoz lényeges különbséget, hogy – mértékelméleti kifejezéssel élve – csak egy nullmértékű halmazon engedtük meg, hogy máshogy viselkedjen a függvény, mint a szűkebb definíció esetében.)

• Bár a fenti lottós példában a valószínűségi változó csak 90 különböző értéket vehet fel, vegyük észre, hogy a definíció megengedi, hogy a 0-nál nagyobb valószínűséggel felvett értékek akár végtelen sokan legyenek. Ez amiatt van, hogy a megszámlálhatóság nem végességet, hanem lényegében felsorolhatóságot jelent. (Meg lehet mutatni, hogy például a [0,1] intervallumba eső valós számok nem sorolhatóak fel, s így valamilyen értelemben „többen vannak”, mint a természetes számok.)

• Ha megfigyeljük, a definíció határozottan végtelennek tünteti fel az X lehetséges értékeinek halmazát. Ennek ellenére a lottós példán láttuk, hogy lehet ez a halmaz véges is. Véges sok felvehető érték esetében az {x₁, x₂, … , x_i, …} halmaz elemei egy megfelelő x_j felett 0 valószínűséggel következnek be. A lottó konkrét esetében ez az x_j elem a 90. elem.

• Érdemes kiemelni, hogy a diszkrét eloszlású valószínűségi változóra, még az első megjegyzésben említett szűkebb definíció esetén se teljesül feltétlenül, hogy az általa felvehető értékek topológiai értelemben diszkrét halmazt alkotnak.

• A valószínűségszámításban szoktak diszkrét valószínűségi változóról is beszélni. A diszkrét valószínűségi változók pontosan a diszkrét eloszlással rendelkező valószínűségi változók. Mivel az eloszlásukban azonos valószínűségi változók önmagukban egymástól lényegében megkülönböztethetetlenek a valószínűségszámítás számára, így a diszkrétség valószínűségi változóra és eloszlásra megfogalmazott formája tulajdonképp ugyanazt a fogalmat takarja.

Lásd még

• Nulla valószínűségű esemény

Források

• Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.