Kumulánsgeneráló függvény

A kumulánsok a valószínűségszámításban és statisztikában a valószínűségi változókhoz rendelt mennyiségek. Független valószínűségi változók esetén egyszerű velük számolni. Sorozatuk a várható értékkel és a szórásnégyzettel kezdődik.

Definíció

Ha az $X$ valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye $M_{X}(t)$, azaz

$M_{X}(t)=E(e^{tX})\,$

akkor a

$g_{X}(t)=\ln M_{X}(t)=\ln E(e^{tX})$

függvény az $X$ kumulánsgeneráló függvénye.

Az $n$-edik kumulánst $\kappa _{n}$ jelöli, és definíciója

$\kappa _{n}={\frac {\partial ^{n}}{\partial t^{n}}}g_{X}(t){\bigg |}_{t=0}$.

A karakterisztikus függvény segítségével is definiálhatók:

$\kappa _{n}={\frac {1}{i^{n}}}{\frac {\partial ^{n}}{\partial t^{n}}}\ln G_{X}(t){\bigg |}_{t=0}$

ahol $G_{X}(t)=E(e^{itX})$ a karakterisztikus függvény.

Tulajdonságok

Eltolásinvariancia

A kumulánsokat a $p(x)$ sűrűségfüggvény szemiinvariánsainak is tekintik, azaz $\kappa _{1}$ kivételével nem változnak a várható érték eltolásával együtt. Kegyen $X$ valószínűségi változó, ekkor tetszőleges $c\in \mathbb {R}$ konstansra:

$\kappa _{1}(X+c)=\kappa _{1}(X)+c\,$

$\kappa _{n}(X+c)=\kappa _{n}(X)~{\text{ ha }}~n\geq 2\,$

Homogenitás

Az $n$-edik kumuláns $n$-edfokban homogén, azaz ha $c$ tetszőleges konstans, akkor:

$\kappa _{n}(cX)=c^{n}\kappa _{n}(X)\,$

Additivitás

Legyenek $X_{1}$ és $X_{2}$ független valószínűségi változók, ekkor az $Y=X_{1}+X_{2}$ valószínűségi változóra:

$\kappa _{n}(Y)=\kappa _{n}(X_{1})+\kappa _{n}(X_{2})\,$

Független valószínűségi változók esetén a karakterisztikus függvények szorzódnak,

$G_{Y}(k)=G_{X_{1}}(k)\cdot G_{X_{2}}(k)$

ebből a logaritmus összeget csinál:

$\ln G_{Y}(t)=\ln G_{X_{1}}(t)+\ln G_{X_{2}}(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\mathrm {i} t)^{n}}{n!}}\left[\kappa _{n}(X_{1})+\kappa _{n}(X_{2})\right]=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\mathrm {i} t)^{n}}{n!}}\kappa _{n}(Y)$

Ha a független valószínűségi változók száma $N$, és a valószínűségi változók $X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{N}$, akkor

$\kappa _{n}(Y)=\sum _{i=1}^{N}\kappa _{n}(X_{i})\,$

Normális eloszlás

Tekintsünk egy normális eloszlást, aminek várható értéke $\mu$, szórásnégyzete $\sigma ^{2}$! Ekkor karakterisztikus függvénye $G(t)=\exp(\mathrm {i} \mu t-\sigma ^{2}t^{2}/2)$, így kumulánsai:

$\kappa _{1}=\mu ;\quad \kappa _{2}=\sigma ^{2};\quad \kappa _{n}=0$ für $n\geq 3$.

Minden 2-nél nagyobb rendű kumuláns nulla. Ez azonosítja a normális eloszlást.

Megmutatható, hogy:

• vagy az első két kumulánst követő összes többi nulla
• vagy pedig végtelen sok nem nulla kumuláns van.

Másként, az $\ln G(k)$ kumulánsgeneráló függvény nem lehet 2-nél magasabb fokú polinom.

Kumulánsok és momentumok

Kumulánsok mint a momentumok függvényei

Jelölje egy $X$ valószínűségi változó $n$-edik momentumát $m_{n}$! $G(k)$-val kifejezhető $m_{n}$, mint

$m_{n}={\frac {1}{i^{n}}}{\frac {\partial ^{n}}{\partial t^{n}}}G(t){\bigg |}_{t=0}$

Az első néhány kumuláns a momentumok segítségével:

$\kappa _{1}=m_{1}\,$

$\kappa _{2}=m_{2}-m_{1}^{2}\,$

$\kappa _{3}=m_{3}-3m_{2}m_{1}+2m_{1}^{3}\,$

$\kappa _{4}=m_{4}-4m_{3}m_{1}-3m_{2}^{2}+12m_{2}m_{1}^{2}-6m_{1}^{4}\,$

$\kappa _{5}=m_{5}+5m_{1}(6m_{2}^{2}-m_{4})-10m_{3}m_{2}+20m_{3}m_{1}^{2}-60m_{2}m_{1}^{3}+24m_{1}^{5}\,$

Általában, az összefüggés a következő rekurzióval fejezhető ki:

$\kappa _{n}=m_{n}-\sum _{k=1}^{n-1}{n-1 \choose k-1}\kappa _{k}m_{n-k}$

Egy alternatív kifejezési mód Faà di Bruno képlete, ami a momentumok mellett a $B_{n,k}$ Bell-polinomokat is felhasználja:

$\kappa _{n}=\sum _{k=1}^{n}(k-1)!(-1)^{k+1}B_{n,k}(m_{1},\dots ,m_{n-k+1})$.

A $\mu _{n}$ centrális momentumokkal a képletek egyszerűbbek:

$\kappa _{1}=m_{1}\,$

$\kappa _{2}=\mu _{2}\,$

$\kappa _{3}=\mu _{3}\,$

$\kappa _{4}=\mu _{4}-3\mu _{2}^{2}\,$

$\kappa _{5}=\mu _{5}-10\mu _{3}\mu _{2}\,$

$\kappa _{6}=\mu _{6}-15\mu _{4}\mu _{2}-10\mu _{3}^{2}+30\mu _{2}^{3}\,$

Az első két kumuláns külön jelentéssel bír: $\kappa _{1}$ a várható érték, $\kappa _{2}$ a szórásnégyzet. A negyediktől kezdve a kumulánsok és a momentumok nem esnek többé egybe.

A kumulánsok levezetése

Az $\ln G(t)$ függvényt $G(t)=1$ körül hatványsorba fejtjük:

$\ln G(t)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {(G(t)-1)^{n}}{n}}=(G(t)-1)-{\frac {(G(t)-1)^{2}}{2}}+{\frac {(G(t)-1)^{3}}{3}}\mp \dotsb$

Ebbe helyettesítjük $G(k)$ hatványsorát:

$G(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\mathrm {i} t)^{n}}{n!}}m_{n}=1+\mathrm {i} tm_{1}+{\frac {(it)^{2}}{2}}m_{2}+{\frac {(it)^{3}}{6}}m_{3}+\dotsb$

A helyettesítést elvégezve:

${\begin{aligned}\ln G(t)=&\left[\mathrm {i} tm_{1}+{\frac {(it)^{2}}{2}}m_{2}+{\frac {(it)^{3}}{6}}m_{3}+\dotsb \right]\\&-{\frac {1}{2}}\left[\mathrm {i} tm_{1}+{\frac {(it)^{2}}{2}}m_{2}+\dotsb \right]^{2}\\&+{\frac {1}{3}}\left[\mathrm {i} tm_{1}+{\frac {(it)^{2}}{2}}m_{2}+\dotsb \right]^{3}\mp \dotsb \\=&\left[\mathrm {i} tm_{1}+{\frac {(it)^{2}}{2}}m_{2}+{\frac {(it)^{3}}{6}}m_{3}+\dotsb \right]\\&-{\frac {1}{2}}\left[(\mathrm {i} t)^{2}m_{1}^{2}+2{\frac {(it)^{3}}{2}}m_{1}m_{2}+{\frac {(it)^{4}}{4}}m_{2}^{2}+\dotsb \right]\\&+{\frac {1}{3}}\left[(\mathrm {i} t)^{3}m_{1}^{3}+2{\frac {(it)^{4}}{2}}m_{1}^{2}m_{2}+2{\frac {(it)^{5}}{4}}m_{1}m_{2}^{2}+{\frac {(it)^{6}}{8}}m_{2}^{3}+\dotsb \right]\mp \dotsb \end{aligned}}$

A $t$ hatványai szerint rendezve kapjuk a kumulánsokat:

$\ln G(t)=\mathrm {i} t\underbrace {\left[m_{1}\right]} _{\kappa _{1}}+{\frac {(it)^{2}}{2}}\underbrace {\left[m_{2}-m_{1}^{2}\right]} _{\kappa _{2}}+{\frac {(it)^{3}}{6}}\underbrace {\left[m_{3}-3m_{1}m_{2}+2m_{1}^{3}\right]} _{\kappa _{3}}+\dotsb$

Momentumok kifejezése kumulánsokkal

Az $n$-edik momentum az első $n$ kumuláns $n$-edfokú polinomja. Az első hat momentum:

$m_{1}=\kappa _{1}\,$

$m_{2}=\kappa _{2}+\kappa _{1}^{2}\,$

$m_{3}=\kappa _{3}+3\kappa _{2}\kappa _{1}+\kappa _{1}^{3}\,$

$m_{4}=\kappa _{4}+4\kappa _{3}\kappa _{1}+3\kappa _{2}^{2}+6\kappa _{2}\kappa _{1}^{2}+\kappa _{1}^{4}\,$

$m_{5}=\kappa _{5}+5\kappa _{4}\kappa _{1}+10\kappa _{3}\kappa _{2}+10\kappa _{3}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}+10\kappa _{2}\kappa _{1}^{3}+\kappa _{1}^{5}\,$

$m_{6}=\kappa _{6}+6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+10\kappa _{3}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+20\kappa _{3}\kappa _{1}^{3}+15\kappa _{2}^{3}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}+\kappa _{1}^{6}.\,$

Az együtthatókat Faà di Bruno képlete adja meg. Általában, az $n$-edik momentum a $B_{n}$ teljes Bell-polinom értéke az $\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n}$ helyen:

$m_{n}=B_{n}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n})$.

A centrális momentumok kifejezéséhez a $\kappa _{1}$ kumuláns nullának tekintendő:

$\mu _{1}=0\,$

$\mu _{2}=\kappa _{2}\,$

$\mu _{3}=\kappa _{3}\,$

$\mu _{4}=\kappa _{4}+3\kappa _{2}^{2}\,$

$\mu _{5}=\kappa _{5}+10\kappa _{3}\kappa _{2}\,$

$\mu _{6}=\kappa _{6}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+10\kappa _{3}^{2}+15\kappa _{2}^{3}.\,$

Kumulánsok és partíciók

A momentumokat a kumulánsok segítségével kifejező polinomok kombinatoikailag is értelmezhetők: együtthatóik halmazpartíciókat számlálnak. A polinomok általános képlete

$m_{n}=\sum _{\pi \in \Pi }\prod _{B\in \pi }\kappa _{\left|B\right|}$

ahol:

• $\pi$ befutja egy $n$ elemű halmaz partícióit;
• "$B\in \pi$" azt jelenti, hogy $B$ a partíció egy blokkja
• $\vert B\vert$ a $B$ blokk mérete

Több dimenzióban

Az X₁, ..., X_n valószínűségi változók közös kumulánsai szintén kumulánsgeneráló függvénnyel generálhatók:

$K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n})=\log E(\mathrm {e} ^{\sum _{j=1}^{n}t_{j}X_{j}}).$

Az egy dimenziós esethez hasonlóan ennek is van kombinatorikai jelentése:

$\kappa _{n}(X_{1},\dots ,X_{n})=\sum _{\pi }(|\pi |-1)!(-1)^{|\pi |-1}\prod _{B\in \pi }E\left(\prod _{i\in B}X_{i}\right)$

ahol:

• $\pi$ befutja egy $n$ elemű halmaz partícióit;
• "$B\in \pi$" azt jelenti, hogy $B$ a partíció egy blokkja
• $\vert B\vert$ a $B$ blokk mérete

Például

$\kappa _{3}(X,Y,Z)=E(XYZ)-E(XY)E(Z)-E(XZ)E(Y)-E(YZ)E(X)+2E(X)E(Y)E(Z).\,$

Ez a kombinatorikai összefüggés a kumulánsok és momentumok között egyszerűbb alakot nyer, hogyha a momentumokat kumulánsokkal fejezzük ki:

$E(X_{1}\cdots X_{n})=\sum _{\pi }\prod _{B\in \pi }\kappa (X_{i}:i\in B).$

Ekkor például:

$E(XYZ)=\kappa (X,Y,Z)+\kappa (X,Y)\kappa (Z)+\kappa (X,Z)\kappa (Y)+\kappa (Y,Z)\kappa (X)+\kappa (X)\kappa (Y)\kappa (Z).\,$

Az első kumuláns a várható érték, két valószínűségi változó közös második kumulánsa a kovarianciájuk. Független valószínűségi változók vegyes kumulánsai eltűnnek. Ha a valószínűségi változók ugyanazok, akkor a $\kappa _{n}(X,\dots ,X)$ kumuláns ugyanaz, mint $X$ közönséges $\kappa _{n}$ kumulánsa.

További fontos tulajdonság a multilinearitás a valószínűségi változókban:

$\kappa _{n}(X+Y,Z_{1},Z_{2},\dots )=\kappa _{n}(X,Z_{1},Z_{2},\dots )+\kappa _{n}(Y,Z_{1},Z_{2},\dots ).\,$

Szabad kumulánsok

A fenti kombinatorikus

$E(X_{1}\cdots X_{n})=\sum _{\pi }\prod _{B\in \pi }\kappa (X_{i}:i\in B)$

momentum-kumuláns képlet végigfut az $\{1,\dotsc ,n\}$ halmaz partícióin. Ha ehelyett csak a nem keresztező partíciókat számoljuk, akkor a szabad kumulánsokhoz jutunk. Roland Speicher vezette be őket.

Alkalmazások

A továbbiakban adva legyenek $X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{N}$ független, azonos eloszlású valószínűségi változók!

Centrális határeloszlás-tétel

Az $Y={\frac {1}{\sqrt {N}}}(X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{N})\,$ valószínűségi változóra a homogenitás és additivitás felhasználásával a következő kumulánsok adódnak:

$\kappa _{n}(Y)={\frac {1}{{\sqrt {N}}^{n}}}\sum _{i=1}^{N}\kappa _{n}(X_{i})\approx {\mathcal {O}}(N^{1-n/2})\,$

Mivel a rend az egyenkénti rendek összege, adódik az ${\mathcal {O}}(N)$ nagyságrend. Az első kumulánsok nagyságrendjei:

$\kappa _{1}(Y)={\mathcal {O}}(N^{1/2})\ ,\quad \kappa _{2}(Y)={\mathcal {O}}(N^{0})\ ,\quad \kappa _{3}(Y)={\mathcal {O}}(N^{-1/2})\ ,\quad \kappa _{4}(Y)={\mathcal {O}}(N^{-1})$

$n\geq 3$ esetén az $N$ rendje negatív kitevőt kap, így a határérték végtelen sok valószínűségi változóra:

$\lim _{N\to \infty }\kappa _{n}(Y)=0\quad {\text{ha}}\quad n\geq 3$

Azaz csak az első két kumuláns marad, ami éppen a normális eloszlásra jellemző. Emiatt tetszőleges valószínűségi változók összege osztva a tagok számának négyzetgyökével normális eloszláshoz tart. Ez a centrális határeloszlás-tétel. A bizonyítás befejezéséhez még fel kell használni a karakterisztikus függvény néhány tulajdonságát is.

A centrális határeloszlás tétele miatt a normális eloszlás szerepe különleges, mivel ha valamire sok, független, egyenként kevés hatással bíró hatás működik, akkor a hatások összessége normális eloszlással közelíthető.

Speciális esetben $X_{i}=X$, várható értéke nulla, szórásnégyzete $\sigma ^{2}$, magasabb momentumai tetszőlegesek. Ekkor

$\kappa _{1}(Y)={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{i=1}^{N}0=0\ ,\quad \kappa _{2}(Y)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\sigma ^{2}=\sigma ^{2}\ ,\quad \kappa _{3}(Y)={\frac {1}{{\sqrt {N}}^{3}}}\sum _{i=1}^{N}\kappa _{3}(X)={\frac {\kappa _{3}(X)}{\sqrt {N}}}{\underset {N\to \infty }{\longrightarrow }}0$

A $Z$

$Z:=Y-E(Y)={\frac {1}{\sqrt {N}}}(X_{1}-E(X_{1})+X_{2}-E(X_{2})+\dotsb +X_{N}-E(X_{N}))\,$

valószínűségi változóra alkalmazható a magasabb momentumok eltolásinvarianciája, ami csak a várható értékre hat. A különbség az, hogy $Z$ várható értéke nulla, még akkor is, ha az $X_{i}$ várható értéke nem tűnik el.

${\begin{aligned}\kappa _{1}(Z)&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{i=1}^{N}\underbrace {\kappa _{1}(X_{i}-E(X_{i}))} _{E(X_{i})-E(X_{i})}=0\\\kappa _{2}(Z)&={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\kappa _{2}(X_{i}-E(X_{i}))={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\kappa _{2}(X_{i})=\kappa _{2}(Y)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}^{2}{\overset {\text{ Spezialfall }}{\underset {\sigma _{i}=\sigma ,\,\forall i}{=}}}\sigma ^{2}\\\kappa _{3}(Z)&={\frac {1}{{\sqrt {N}}^{3}}}\sum _{i=1}^{N}\kappa _{3}(X_{i}-E(X_{i}))={\frac {1}{{\sqrt {N}}^{3}}}\sum _{i=1}^{N}\kappa _{3}(X_{i})=\kappa _{3}(Y){\underset {N\to \infty }{\longrightarrow }}0\end{aligned}}$

Nagy számok tétele

Az

$Y={\frac {1}{N}}(X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{N})\,$

valószínűségi változóra a homogenitás és additivitás felhasználásával a követklező kumulánsok adódnak:

$\kappa _{n}(Y)={\frac {1}{N^{n}}}\sum _{i=1}^{N}\kappa _{n}(X_{i})\approx {\mathcal {O}}(N^{1-n})\,$

A $\sum _{i=1}^{N}\kappa _{n}$ kumulánsok nagyságrendjei rendre ${\mathcal {O}}(N)$ lesznek. Az első kumulánsok nagyságrendjei:

$\kappa _{1}(Y)={\mathcal {O}}(N^{0})\ ,\quad \kappa _{2}(Y)={\mathcal {O}}(N^{-1})\ ,\quad \kappa _{3}(Y)={\mathcal {O}}(N^{-2})\ ,\quad \kappa _{4}(Y)={\mathcal {O}}(N^{-3})$

$n\geq 2$ esetén az $N$ rend nagy negatív kitevőt kap, így határértékben:

$\lim _{N\to \infty }\kappa _{n}(Y)=0\quad {\text{ha}}\quad n\geq 2$

Csak az első kumuláns, illetve momentum marad. Növekvő $N$-nel normális eloszlást közelít, aminek várható értéke:

$\kappa _{1}(Y)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\kappa _{1}(X_{i})$

ahol a szélesség $N^{-1}$ rendű, és $N\to \infty$ esetén elfajult eloszlást jelent $\kappa _{1}$-nél.

Legyen például $X_{i}=X$ valószínűségi változó $\mu$ várható értékkel, $\sigma ^{2}$ szórásnégyzettel és tetszőleges további momentumokkal.

$\kappa _{1}(Y)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}m=m\ ,\quad \kappa _{2}(Y)={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1}^{N}\sigma ^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{N}}{\underset {N\to \infty }{\longrightarrow }}0\ ,\quad \kappa _{3}(Y)={\frac {1}{N^{3}}}\sum _{i=1}^{N}\kappa _{3}(X)={\frac {\kappa _{3}(X)}{N^{2}}}{\underset {N\to \infty }{\longrightarrow }}0$

Ezzel az $Y$ valószínűségi változó várható értéke ugyanaz, mint az $X$ valószínűségi változóé, azaz $Y$ az $X$ várható értékben hű becslése. A növekvő $N$-re csökkenő szórás értéke $\sigma _{Y}=\sigma _{X}/{\sqrt {N}}$.

Története

A kumulánsokat először Thorvald Nicolai Thiele dán matematikus írta le egy 1889-ben dánul megjelent könyvben. Habár a könyvet a Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik is hivatkozta, az eredményekre nem figyeltek fel. Így Felix Hausdorff 1901-ben újra bevezette őket.

A szabad valószínűségszámításban hasonló szerepet töltenek be, mint a közönséges kumulánsok a közönséges valószínűségszámításban. Például a szabad valószínűségi változók összegének szabad kumulánsai is összegződnek. A normális eloszlás szerepét a Wigner-féle félköreloszlás veszi át, ennek csak a második szabad kumulánsa különbözik nullától.

Források

• Jörg Bewersdorff: Statistik – wie und warum sie funktioniert. Ein mathematisches Lesebuch. Vieweg+Teubner Verlag 2011, ISBN 978-3834817532, doi:10.1007/978-3-8348-8264-6, S. 68–70.
• Crispin W. Gardiner: Stochastic methods: a handbook for the natural and social sciences. Springer, 2009. ISBN 978-3-540-70712-7, S. 33–35.
• M. Abramowitz, I. A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover, 1965. ISBN 978-0-486-61272-0

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Kumulante című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.