Variancia
A variancia avagy szórásnégyzet a valószínűségszámításban egy valószínűségi változó eloszlását jellemző szóródási mérőszám.[1] A szórásnégyzet megmutatja, hogy egy valószínűségi változó milyen mértékben szóródik a várható érték (középérték) körül. A szórásnégyzet a valószínűségi változó második centrális momentuma, gyakran használják ezt a paramétert a sokféle eloszlás megkülönböztetésére, valamint elméleti számításoknál.
A szórást és az abszolút eltérést egyaránt használják eloszlások jellemzésére. A szórás jobban jellemző, mint az abszolút eltérés, valamint együtt a szórásnégyzettel és a kovarianciával alkalmazzák az elméleti statisztikában. Az abszolút eltérés robusztusabb és kevésbé érzékeny a nagy eltérésekre, melyek mérési anomáliákból származnak.
A szórásnégyzet a valószínűségi változó változásainak a mértéke, tekintetbe véve az összes lehetséges értéket és annak valószínűségeit.
Definíció
szerkesztésHa egy X valószínűségi változó várható értéke (középértéke) μ = E[X], akkor az X szórásnégyzete az X saját magával vett kovarianciája:
Azaz a szórásnégyzet a változó és a várható értéke közötti különbség négyzetének várható értéke. A kovariancia megfelelő kifejezéséből kiterjesztve:
A leggyakrabban használt levezetés a várható értékből:
Példa
szerkesztésTekintsünk egy hatoldalú szabályos dobókockát. A dobás után a várható érték:
A várható abszolút eltérés (az azonosan valószínű abszolút eltérések várható értéke a középértéktől):
A várható négyzetes eltérés, a szórásnégyzet:
Folytonos valószínűségi változó esete
szerkesztésHa X egy folytonos valószínűségi változó f(x) sűrűségfüggvénnyel, akkor a szórásnégyzet egyenlő a második centrális momentummal:
ahol , a várható érték,
Az integrál határozott integrál. Ha a folytonos eloszlásnak nincs várható értéke, mint a Cauchy-eloszlás esetében, akkor szórásnégyzete sincs. Több más eloszlásnak sincs szórásnégyzete, ha nem létezik várható értéke.
Diszkrét valószínűségi változó esete
szerkesztésHa X egy diszkrét valószínűségi változó, tömegfüggvénnyel, akkor
ahol , a várható érték:
- .
Exponenciális eloszlás
szerkesztésAz exponenciális eloszlás paraméterrel, egy folytonos eloszlás tartományban, a sűrűségfüggvénye:
a várható érték: , és így a szórásnégyzet:
σ2 = μ2.
Főbb tulajdonságok
szerkesztésA szórásnégyzet nem lehet negatív:
Egy állandó változó szórásnégyzete zéró, és ha a szórásnégyzet zéró, akkor 1 valószínűséggel állandó a változó:
A szórásnégyzet invariáns a helyparaméter változásaira, ha egy állandót adunk hozzá a változóhoz, a szórásnégyzet nem változik:
Ha a változót megszorozzuk egy konstanssal, a szórásnégyzet a konstans négyzetével változik.
Irodalom
szerkesztés- Goodman, Leo A: On the exact variance of products. (hely nélkül): Journal of the American Statistical Association. 1960. 708–713. o. ISBN 978-963-279-026-8
Kapcsolódó szócikkek
szerkesztés- Valószínűség-eloszlások listája
- Normális eloszlás
- Bernoulli-eloszlás
- Binomiális eloszlás
- Sűrűségfüggvény
- Skálaparaméter
- Alakparaméter
- Gumbel-eloszlás
- Eloszlásfüggvény
- Valószínűségszámítás
- Statisztika
- Burr-eloszlás
- Lapultság
- Módusz
- Binomiális eloszlás
- Negatív binomiális eloszlás
- Geometriai eloszlás
- Hipergeometrikus eloszlás
- Béta-binomiális eloszlás
- Kategorikus-eloszlás
- Multinomiális eloszlás
- Többváltozós hipergeometrikus eloszlás
- Poisson-eloszlás
- Exponenciális eloszlás
- Khí-négyzet eloszlás
- T-eloszlás
- F-eloszlás
- Bayes-tétel
- Béta-eloszlás
- Gamma-eloszlás
- Dirichlet-eloszlás
- Wishart-eloszlás
Jegyzetek
szerkesztés- ↑ Montgomery, D. C. and Runger, G. C. (1994) Applied statistics and probability for engineers, page 201. John Wiley & Sons New York