Főmenü megnyitása

A kovariancia a valószínűségszámítás és a statisztika tárgykörébe tartozó mennyiség, ami megadja két egymástól különböző változó együttmozgását. Kis értékei gyenge, nagy értékei erős lineáris összefüggésre utalnak. Nem normált; normálással a korrelációt kapjuk.

DefinícióSzerkesztés

Létezésének szükséges feltétele, hogy létezzen mindkét véletlen valószínűségi változó, továbbá szorzatuk várható értéke. Ez biztosan teljesül, ha   és   négyzetesen integrálható, azaz   és  . Értéke  , ahol E az úgynevezett várhatóérték-operátor.

n számú x, y értékpárra nézve a minta kovarianciája megadható még az alábbi képlettel:  

Folytonos és diszkrét valószínűségi változók kovarianciája:

 .

PéldákSzerkesztés

Legyen   kétdimenziós normális eloszlású, és   a   kovarianciamátrixszal:

  ekkor a kovariancia:
 

Legyen   kétdimenziós multinomiális eloszlású ( ), így:

 

TulajdonságaiSzerkesztés

  • A kovariancia pozitív, ha   és   között pozitív az összefüggés, ha   nagy, akkor   is nagy, és ha   kicsi, akkor   is kicsi.
  • A kovariancia negatív, ha   és   között negatív az összefüggés, ha   nagy, akkor   kicsi, és ha   kicsi, akkor   nagy. Ez nem fordított arányosságot jelez, hiszen a kovariancia csak lineáris összefüggés kimutatására képes.
  • A kovariancia nulla, akkor   és   között nincs lineáris összefüggés, de másfajta lehet.

Az eltolási tulajdonság:

 

Bizonyítás:

 

Kapcsolat a szórásnégyzettelSzerkesztés

Tétel: A kovariancia a szórásnégyzet általánosítása, mivel

 

Bizonyítás:

 

Tehát a szórásnégyzet a valószínűségi változó önmagával vett kovarianciája.

A kovarianciával kiszámítható négyzetesen integrálható valószínűségi változók összegének szórásnégyzete. Általában:

 

Speciálisan, két valószínűségi változó összegének szórásnégyzete:

 

Ahogy az közvetlenül következik a definícióból, ha az egyik valószínűségfi változó előjele megváltozik, akkor a kovariancia is:

 

Így két valószínűségi változó különbségére:

 

Linearitás, szimmetria és definitségSzerkesztés

Tétel: A kovariancia szimmetrikus pozitív szemidefinit bilineáris forma a négyzetesen integrálható valószínűségi változók terében.

Tétel: Bilineárisság: Az   valós számokra:

 
 

Bizonyítás:

 
 

Könnyen látható, hogy a kovariancia invariáns a konstans hozzáadására. A második egyenlőségben szimmetria miatt első változójában is lineáris.

Tétel: Szimmetria.

 

Bizonyítás:

 

Tétel (Pozitív szemidefinit):

 

Bizonyítás:

 

A szimmetrikus szemidefinit bilineáris alakból következik, hogy teljesül a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség:

 

A linearitásból következik, hogy a kovariancia függ a véletlen változók nagyságáétól. Így a kovariancia a tízszeresére változik, ha   helyett a   valószínűségi változót használjuk. Így a kovariancia nagysága a valószínűségi változók mértékegységeitől is függ. Mivel ez a tulajdonság nehezen értelmezhetővé teszi a kovariancia nagyságát, azért helyette inkább a korrelációs együtthatót használják, ami skálafüggetlen:

 

Korrelálatlanság és függetlenségSzerkesztés

Definíció: Ha   és   valószínűségi változók, és  , emiatt  , akkor   és   korrelálatlan.

Tétel: Ha   és   független valószínűségi változók, akkor  

Bizonyítás: Független valószínűségi változók esetén  , d. h.

 

A megfordítás nem mindig teljesül. Legyen az   valószínűségi változó egyenletes eloszlású a   intervallumon, és  . Nyilvánvaló, hogy   és   nem függetlenek. Viszont

 .

További példák korrelálatlan, de nem független valószínűségi változókra:

Legyenek   és   valószínűségi változók úgy, hogy   und  

Ekkor   és  ,  
Következik, hogy   és  , tehát  
Másrészt   és   nem függetlenek, mivel  .

Legyenek   és   valószínűségi változók Bernoulli-eloszlásúak a   paraméterrel és függetlenek. Ekkor   és   korrelálatlan, de nem független.

A korrelálatléanság nyilvánvaló, mivel  
De   és   nem függetlenek, hiszen  

ForrásokSzerkesztés

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Kovarianz (Stochastik) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.