Geometriai eloszlás

A geometriai eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás független Bernoulli-kísérletek esetére. Két változata létezik:

A változat
A siker eléréséhez szükséges Bernoulli-kísérletek számának a valószínűségi eloszlása. Ez az eloszlás a halmazon értelmezett.
B változat
A siker előtti sikertelen kísérletek számának az eloszlása. Ez az eloszlás a halmazon értelmezett.

A két változat összefüggése .

A geometriai eloszlás felhasználható:

  • egy megadott esemény előtti várakozási idők elemzésénél például a készülékek és alkatrészek élettartamának meghatározása = a várakozási idő az első meghibásodásig
  • a gyakori események számának meghatározása két egymástól független ritka esemény között; alkalmazási területek például a készülékek megbízhatóságának vizsgálata, biztosítási matematika, adatátvitel hibaarányának meghatározása

MeghatározásSzerkesztés

Egy kísérlet két lehetséges kimenetele közül egy adott esemény bekövetkezésének valószínűségét jelöljük   -vel. Ekkor az ellentett esemény valószínűsége  .

Akkor beszélünk geometriai eloszlásról, ha

A változat
annak a valószínűsége, hogy az első sikerhez pontosan   kísérletre van szükség,
 
B változat
annak a valószínűsége, hogy az első siker előtt pontosan   sikertelen kísérlet legyen
 

A geometriai eloszlást jellemző számokSzerkesztés

Várható értéke:

A változat:

 

B változat:

 .

Szórása:

Mindkét változat szórása:

 .

Ferdesége:

 .

Lapultsága:

 .

TulajdonságokSzerkesztés

  • A geometriai eloszlás örökifjú, azaz a várt esemény valószínűsége nem függ az addig eltelt várakozási időtől, és ez az egyetlen ilyen diszkrét eloszlás.

A változat:

 

B változat:

 
  • A geometrikus eloszlás nem stabil, vagyis, ha U, V geometriai eloszlású valószínűségi változók, akkor   nem biztos, hogy újra geometrikus eloszlású lesz. A centrális határeloszlás-tétel miatt az egyetlen véges szórású stabil eloszláscsalád a normális eloszlások családja.
  • Az   független geometrikus eloszlású valószínűségi változók összege
 

amennyiben mindegyiknek ugyanaz a p a paramétere, negatív binomiális eloszlású.

A változat:

 .

B változat:

 .

A változat:

 

B változat:

 .

Kapcsolat más eloszlásokkalSzerkesztés

Negatív binomiális eloszlásSzerkesztés

A negatív binomiális eloszlás a geometrikus eloszlás általánosítása több sikeres kísérletre. Ezt kétféleképpen fogalmazzák be: vagy az r-edik sikeres kísérletre várnak, vagy azt emelik ki, hogy az r-edik sikeres kísérletre n próbálkozásra volt szükség.

A geometrikus eloszlás éppen az r=1 paraméterhez tartozó negatív binomiális eloszlás.

Exponenciális eloszlásSzerkesztés

Legyenek az   geometrikus valószínűségi változók paraméterei  , és legyen   egy pozitív λ konstansra. Ekkor a   sorozat tart egy λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változóhoz.

A folytonos exponenciális eloszlás a diszkrét geometriai eloszláshoz hasonlóan egy ritka, Poisson-eloszlású eseményre vár. Az exponenciális eloszlás így a geometriai eloszlás folytonos analógja.

LevezetésekSzerkesztés

A várható érték levezetéseSzerkesztés

A geometriai eloszlás várható értéke többféleképpen is kiszámítható:

  •  .
  •  

ahol  , mivel az eloszlásfüggvény  .

  • Az   várható érték az örökifjú tulajdonság miatt esetszétválasztással is számítható. p valószínűséggel az első esemény sikeres lesz, ezzel X=1 valósul meg, különben X>1 lesz 1-p valószínűséggel. Az örökifjú tulajdonság miatt a szükséges kísérletek száma megint  . Ezzel : , tehát  .
  • n kísérletből várhatóan   lesz sikeres. Így a két sikeres kísérlet közötti várakozási idő
 , vagyis  .

A szórás levezetéseSzerkesztés

A szórás helyett célszerűbb a szórásnégyzettel számolni.

   
 
 
 
 
 
 .

ForrásokSzerkesztés