Az örökifjú tulajdonság egy valószínűségszámításban használt fogalom.
A X valószínűségi változó örökifjú tulajdonságú (vagy röviden örökifjú ), ha minden
a
≥
0
{\displaystyle a\geq 0}
b
≥
0
{\displaystyle b\geq 0}
P
(
X
>
a
+
b
∣
X
>
a
)
=
P
(
X
>
b
)
{\displaystyle P(X>a+b\,\mid \,X>a)=P(X>b)}
P
(
X
≥
a
+
b
∣
X
≥
a
)
=
P
(
X
≥
b
)
{\displaystyle P(X\geq a+b\,\mid \,X\geq a)=P(X\geq b)}
Szemléletesen, ha például a valószínűségi változó egy eszköz élettartama, akkor az örökifjú tulajdonság azt jelenti, hogy a valamilyen életkorú eszköz ugyanakkora eséllyel nem romlik el még t ideig, amekkora eséllyel nem romolna el t ideig, ha új lenne.
Az exponenciális eloszlású valószínűségi változó örökifjú tulajdonságú.
Bizonyítás:
Mivel
P
(
X
<
x
)
=
1
−
e
−
λ
x
{\displaystyle P(X<x)=1-e^{-\lambda x}}
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
P
(
X
>
x
)
=
e
−
λ
x
{\displaystyle P(X>x)=e^{-\lambda x}}
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
P
(
X
>
a
+
b
∣
X
>
a
)
=
P
(
X
>
a
+
b
∩
X
>
a
)
P
(
X
>
a
)
=
P
(
X
>
a
+
b
)
P
(
X
>
a
)
=
e
−
λ
(
a
+
b
)
e
−
λ
a
=
e
−
λ
b
=
P
(
X
>
b
)
{\displaystyle P(X>a+b\,\mid \,X>a)={\frac {P(X>a+b\,\cap \,X>a)}{P(X>a)}}={\frac {P(X>a+b)}{P(X>a)}}={\frac {e^{-\lambda (a+b)}}{e^{-\lambda a}}}=e^{-\lambda b}=P(X>b)}
Megmutatható, hogy csak az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonságú a folytonos eloszlások közül, vagyis ha egy folytonos valószínűségi változó örökifjú tulajdonságú, akkor exponenciális eloszlást követ.
A geometriai eloszlás is örökifjú tulajdonságú.
Ha
P
(
X
=
n
)
=
p
(
1
−
p
)
n
{\displaystyle P(X=n)=p(1-p)^{n}}
P
(
X
≥
n
)
=
(
1
−
p
)
n
{\displaystyle P(X\geq n)=(1-p)^{n}}
P
(
X
≥
n
)
=
∑
i
=
n
∞
p
(
1
−
p
)
i
=
(
1
−
p
)
n
∑
i
=
0
∞
p
(
1
−
p
)
i
=
(
1
−
p
)
n
p
1
−
(
1
−
p
)
=
(
1
−
p
)
n
{\displaystyle P(X\geq n)=\sum _{i=n}^{\infty }p(1-p)^{i}=(1-p)^{n}\sum _{i=0}^{\infty }p(1-p)^{i}=(1-p)^{n}{\frac {p}{1-(1-p)}}=(1-p)^{n}}
Ezért
P
(
X
≥
a
+
b
∣
X
≥
a
)
=
P
(
X
≥
a
+
b
∩
X
≥
a
)
P
(
X
≥
a
)
=
P
(
X
≥
a
+
b
)
P
(
X
≥
a
)
=
(
1
−
p
)
a
+
b
(
1
−
p
)
a
=
(
1
−
p
)
b
=
P
(
X
≥
b
)
{\displaystyle P(X\geq a+b\,\mid \,X\geq a)={\frac {P(X\geq a+b\,\cap \,X\geq a)}{P(X\geq a)}}={\frac {P(X\geq a+b)}{P(X\geq a)}}={\frac {(1-p)^{a+b}}{(1-p)^{a}}}=(1-p)^{b}=P(X\geq b)}
Ha pedig
P
(
X
=
n
)
=
p
(
1
−
p
)
n
−
1
{\displaystyle P(X=n)=p(1-p)^{n-1}}
P
(
X
>
n
)
=
∑
i
=
n
+
1
∞
p
(
1
−
p
)
i
−
1
=
∑
i
=
n
∞
p
(
1
−
p
)
i
=
(
1
−
p
)
n
{\displaystyle P(X>n)=\sum _{i=n+1}^{\infty }p(1-p)^{i-1}=\sum _{i=n}^{\infty }p(1-p)^{i}=(1-p)^{n}}
P
(
X
>
a
+
b
∣
X
>
a
)
=
P
(
X
>
a
+
b
∩
X
>
a
)
P
(
X
>
a
)
=
P
(
X
>
a
+
b
)
P
(
X
>
a
)
=
(
1
−
p
)
a
+
b
(
1
−
p
)
a
=
(
1
−
p
)
b
=
P
(
X
>
b
)
{\displaystyle P(X>a+b\,\mid \,X>a)={\frac {P(X>a+b\,\cap \,X>a)}{P(X>a)}}={\frac {P(X>a+b)}{P(X>a)}}={\frac {(1-p)^{a+b}}{(1-p)^{a}}}=(1-p)^{b}=P(X>b)}
A diszkrét eloszlások közül a geometriai az egyetlen örökifjú tulajdonságú.
