A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén az F-eloszlás egy folytonos valószínűség-eloszlás.

Az F-eloszlást a teszt-statisztika területén használják, leggyakrabban a szórásnégyzet analízisnél (lásd még: F-teszt)

Az F-eloszlás nem összekeverendő az F-statisztikával, melyet a népesség genetikában használnak. [1][2][3][4] Az F-eloszlás úgy is ismert, mint Snedecor-féle F-eloszlás vagy Fisher–Snedecor-eloszlás Ronald Fisher és George W. Snedecor után.[5]

DefinícióSzerkesztés

 
Sűrűségfüggvény
 
Kumulatív eloszlásfüggvény

Ha   valószínűségi változó F-eloszlású   és   paraméterekkel, akkor írhatjuk  .   valószínűség sűrűségfüggvénye:

 

valós   esetekre. Itt a  , a béta-függvény. A legtöbb alkalmazásban a   és   pozitív egész. A kumulatív eloszlásfüggvény:

 

ahol I a szabályozott inkomplett béta-függvény. A lapultság:

 .

Egy   k-ik momentuma létezik, és csak akkor véges, ha  , és egyenlő::[6] 

Az F-eloszlás az Elsődleges béta-eloszlás partikuláris parametrizálása, melyet másodfajú béta-eloszlásnak is hívnak.

Karakterisztikus függvénySzerkesztés

A karakterisztikus függvény:[7]

 

ahol   a másodfajú hipergeometrikus-függvény.

JellemzőkSzerkesztés

Egy d1 és d2 paraméterekkel rendelkező F-eloszlású valószínűségi változó, két megfelelően skálázott khí-négyzet eloszlásból származtatható:

 

ahol

Olyan esetekben, amikor az F-eloszlást használják, például, a szórásnégyzet analízisénél, U1 és U2 függetlensége demonstrálható, ha alkalmazzuk a Cochran-tételt.

ÁltalánosításSzerkesztés

Az F-eloszlás általánosítása, a nemcentrális F-eloszlás.

Kapcsolódó eloszlásokSzerkesztés

  • Ha   és  , függetlenek, akkor  
  • Ha   (Béta-eloszlás), akkor  
  • Hasonlóan, ha  , akkor  .
  • Ha   akkor   khí-négyzet eloszlás  
  •   ekvivalens a skálázott Hotelling T-négyzet eloszlással  .
  • Ha  , akkor  .
  • Ha   (Student t-eloszlás), akkor  .
  • Ha   (Student t-eloszlás), akkor  .
  • F-eloszlás a 6. típusú Pearson-eloszlás speciális esete.
  • Ha  , akkor   (Fisher z-eloszlás)
  • A nemcentrális F-eloszlás egyszerűsíti az F-eloszlást, ha  
  • A dupla nemcentrális F-eloszlás egyszerűsíti az F-eloszlást, ha  
  • Ha   kvantilise     esetében, és   kvantilise  , akkor
 .

IrodalomSzerkesztés

  • Johnson, Norman Lloyd; Samuel Kotz, N. Balakrishnan: Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27). (hely nélkül): Wiley. 1995. ISBN 0-471-58494-0  
  • Phillips, P. C. B: The true characteristic function of the F distribution. (hely nélkül): Biometrika. 1982. 261–264. o.  

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés

  1. Johnson, Norman Lloyd, Samuel Kotz, N. Balakrishnan. Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27). Wiley (1995). ISBN 0-471-58494-0 
  2. Milton Abramowitz; Irene Stegun, (szerk.) (1983) [June 1964]. "Chapter 26". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 946. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
  3. NIST (2006). Engineering Statistics Handbook - F Distribution
  4. Mood, Alexander, Franklin A. Graybill, Duane C. Boes. Introduction to the Theory of Statistics (Third Edition, p. 246-249). McGraw-Hill (1974). ISBN 0-07-042864-6 
  5. http://www.statlect.com/F_distribution.htm
  6. The F distribution
  7. Phillips, P. C. B. (1982) "The true characteristic function of the F distribution," Biometrika, 69: 261-264 Sablon:Jstor