Kopula (valószínűségszámítás)

A kopula a valószínűségszámításban egy függvény, ami különböző valószínűségi változók peremeloszlásai és közös eloszlása között állít fel kapcsolatot. Segítségével szabadabban lehet modellezni a valószínűségi változók közötti kapcsolatot, mint korrelációval.

Definíció

A kopula egy $C\colon [0,1]^{n}\rightarrow [0,1]$ többváltozós eloszlásfüggvény, melynek egydimenziós peremeloszlásai egyenletes eloszlásúak $[0,1]$-ben. Ez a következőket jelenti:

• $C$ többváltozós eloszlásfüggvény, így:

• $\forall u\in [0,1]^{n}\colon \min\{u_{1},\dotsc ,u_{n}\}=0\implies C(u)=0$,
• $C$ n-növekvő, azaz minden $R=\prod _{i=1}^{n}[x_{i},y_{i}]\subseteq [0,1]^{n}$ téglán a C-térfogat nemnegatív, $V_{C}\left(R\right):=\sum _{\mathbf {z} \in \prod _{i=1}^{n}\{x_{i},y_{i}\}}(-1)^{N(\mathbf {z} )}C(\mathbf {z} )\geq 0$, ahol $N(\mathbf {z} ):=|\{k\mid z_{k}=x_{k}\}|$,

• $C$ egydimenziós peremeloszlásai egyenletesek a $[0,1]$ intervallumon: $\forall j\in \{1,\dotsc ,n\},u=(u_{1},...,u_{n})\in \{1\}^{j-1}\times [0,1]\times \{1\}^{n-j}\colon C(u)=u_{j}$.

Az utolsó követelmény motivációja a következő: Egy rögzített $n\in \mathbb {N}$ számra az $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ tetszőleges folytonos $F_{X_{i}},\;i\in \{1,2,\dotsc ,n\}$ eloszlású valószínűségi változók esetén $F_{X_{i}}(X_{i})$ egyenletes eloszlású az $[0,1]$ intervallumon.

Sklar tétele

A továbbiakban ${\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ a valós számok kiterjesztése.

Legyen $F:{\overline {\mathbb {R} }}^{n}\rightarrow [0,1]$ $n$-dimenziós eloszlásfüggvény, az $F_{1},\ldots ,F_{n}:{\overline {\mathbb {R} }}\rightarrow [0,1]$ egydimenziós peremeloszlásokkal. Ekkor van egy $n$-dimenziós $C$ kopula, hogy minden $(x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\overline {\mathbb {R} }}^{n}\$ esetén

$F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=C\left(F_{1}\left(x_{1}\right),\ldots ,F_{n}\left(x_{n}\right)\right).$

Ha minden $F_{i}$ folytonos, akkor a kopula egyértelmű.

Fréchet-Hoeffding-korlátok

Minden $n$-változós $C$ kopulára teljesülnek az

• $C(u_{1},\ldots ,u_{n})~\geq ~\max \left\{\sum \limits _{i=1}^{n}{u_{i}}+1-n,~0\right\}~=:~W(u_{1},\ldots ,u_{n})$

és az

• $C(u_{1},\ldots ,u_{n})~\leq ~\min\{u_{1},\ldots ,u_{n}\}~=:~M(u_{1},\ldots ,u_{n})$

korlátok.

A felső $M$ korlát szintén kopula, az alsó $W$ viszont csak $n=2$ esetén.

Példák

A legegyszerűbb kopula a függetlenségi kopula:

$C(u_{1},\ldots ,u_{n})=\prod \limits _{i=1}^{n}u_{i}=u_{1}\cdot \ldots \cdot u_{n}$.

A kopula szerinti eloszlás $U_{1},\ldots ,U_{n}$ valószínűségi változók függetlenségét jelzi. Jelben: $(U_{1},\ldots ,U_{n})\sim C$

A felső Fréchet-Hoeffding-korlát is kopula:

$C(u_{1},\ldots ,u_{n})=\min _{i=1,\ldots ,n}u_{i}$.

Tökéletes pozitív összefüggést ír le.

Az alsó Fréchet-Hoeffding-korlát kétváltozós esetben kopula:

$C(u_{1},u_{2})=\max\{u_{1}+u_{2}-1,0\}$.

Két valószínűségi változó tökéletes negatív összefüggését írja le.

A normális vagy Gauß-kopula definiálható a normális eloszlás eloszlásfüggvényével, amit itt $F(\cdot )$ jelöl. A

$C(u_{1},u_{2})=F_{2}(F^{-1}(u_{1}),F^{-1}(u_{2}),\rho )\,$

kopula azt jelzi, hogy $F_{2}(\cdot ,\cdot ,\rho )$ két standard normális eloszlású valószínűségi változó közös eloszlása, $\rho$ korrelációs együtthatóval. Ha a $\rho =0,5$ együtthatóval generálunk pontokat, akkor a szögfelező mentén fognak koncentrálódni.

A Gumbel-kopula definíciójához exponenciális függvényt és logaritmust használnak:

$C_{\lambda }(u_{1},u_{2})=\exp \left(-\left(\left(-\ln u_{1}\right)^{\lambda }+\left(-\ln u_{2}\right)^{\lambda }\right)^{1/\lambda }\right)$,

ahol $\lambda \geq 1$ paraméter. Ha eszerint generálunk pontokat, akkor az $(1,1)$ pont körül fognak koncentrálódni.

Arkhimédészi kopula

Az arkhimédészi kopulák a kopulák egy osztályát alkotják.

Legyen $\varphi \colon [0,1]\rightarrow [0,\infty ]$ folytonos, monoton csökkenő függvény, ahol $\varphi (1)=0$. Jelölje ennek pszeudoinverzét $\varphi ^{[-1]}\colon [0,\infty ]\rightarrow [0,1]\$, azaz

$\varphi ^{[-1]}(t):={\begin{cases}\varphi ^{-1}(t),&{\textrm {ha}}\ 0\leq t\leq \varphi (0)\\0&{\textrm {.}}\end{cases}}$

$\varphi$ és $\varphi ^{[-1]}$ segítségével definiálják a

$C\colon [0,1]^{2}\rightarrow [0,1],\quad C(u,v):=\varphi ^{[-1]}\left(\varphi \left(u\right)+\varphi \left(v\right)\right)$

kétváltozós függvényt. $C$ akkor és csak akkor kopula, ha $\varphi$ konvex. Ekkor $\varphi$ a kopula generátora. $C$ nyilván szimmetrikus, azaz $C(u,v)=C(v,u)$ ha $u,v\in [0,1]$.

Gyakran használnak arkhimédészi kopulákat, mivel használatuk egyszerű. Néhány példa:

• Gumbel-kopula: Generátora az $\varphi (t)=(-\ln t)^{\lambda }$ mfüggvény, ahol $\lambda \geq 1$ paraméter.

Ezzel $\varphi ^{[-1]}(t)=\exp \left(-t^{\frac {1}{\lambda }}\right)$ így a Gumbel-kopula $C_{\lambda }(u,v)$ ahogy fent.

• Clayton-kopula: Generátora a $\varphi (t)={\frac {1}{\Theta }}\left(t^{-\Theta }-1\right)$ függvény, ahol $\Theta >0$.

Ezzel $\varphi ^{[-1]}(t)=\left(\Theta \cdot t+1\right)^{-{\frac {1}{\Theta }}}$ így a kétváltozós Clayton-kopula:

$C(u,v)=\left(u^{-\Theta }+v^{-\Theta }-1\right)^{-{\frac {1}{\Theta }}}$

• Frank-kopula: Generátora a $\varphi (t)=-\ln \left({\frac {e^{-\Theta \cdot t}-1}{e^{-\Theta }-1}}\right)$ függvény, ahol $\Theta >0$.

Szélsőértékkopula

Egy $C$ kopula szélsőértékkopula, ha egy többváltozós szélsőérték-eloszlás kopulája. Azaz van egy $G$ többváltozós szélsőérték-eloszlás, $G_{1},\dots ,G_{n}$ egydimenziós peremeloszlásokkal, úgy, hogy $C(u_{1},\dots ,u_{n})=G(G_{1}^{-1}(u_{1}),\dots ,G_{n}^{-1}(u_{n}))$.

Egy $C$ kopula akkor és csak akkor szélsőértékkopula, ha $\mathbf {0} \leq \mathbf {u} =(u_{1},\dots ,u_{n})^{T}\leq \mathbf {1}$ és $t>0$ esetén $C(u_{1}^{t},\dots ,u_{n}^{t})=C^{t}(u_{1},\dots ,u_{n})$.

Ha $C$ szélsőértékkopula, és $G_{1},\dots ,G_{n}$ egyváltozós szélsőérték-eloszlások, akkor $G((x_{1},\dots ,x_{n})^{T}):=C(G_{1}(x_{1}),\dots ,G_{n}(x_{n}))$ is szélsőérték-eloszlás.

Alkalmazások

Arra használják a kopulákat, hogy célzottan modellezzék az összefüggést különböző valószínűségi változók között, vagy következtessenek függetlenségükre. Így például hitelek kockázatosságát vizsgálják, hogy egyfajta hitel adósainak tömeges csődkockázatáról tegyenek kijelentéseket. Hasonlóan alkalmazzák a biztosításban is, a különféle káresetek együttes előfordulására, mint például árvíz és vihar okozta károkra.

Források

• Joe, Harry: Dependence Modeling with Copulas (Monographs on Statistics and Applied Probability 134). CRC Press, 2015, ISBN 978-1-4665-8322-1
• Mai, J.-F., Scherer, M.: Simulating Copulas (Stochastic Models, Sampling Algorithms and Applications). World Scientific, 2012, ISBN 978-1-84816-874-9
• Nelsen, Roger B.: An Introduction to Copulas (Lecture Notes in Statistics). Springer Verlag, 2006, ISBN 0-387-28659-4
• Sklar, A.: Random variables, distribution functions, and copulas – a personal look backward and forward in Rüschendorf, L., Schweizer, B. und Taylor, M. (eds) Distributions With Fixed Marginals & Related Topics (Lecture Notes - Monograph Series Number 28), 1997, ISBN 0-940600-40-4
• Fischer, Rico: Modellierung von Abhängigkeiten mit Hilfe von Copulas: Anwendung bei der Bestimmung des Value at Risk, Logos Berlin, 2009, ISBN 3-8325-2142-9

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Copula (Mathematik) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.