A valószínűségszámításban egy valószínűségi változó momentumai több, a változó eloszlását jellemző számértéket is takarnak. Általánosan az X valószínűségi változó k-adik momentuma bármely k pozitív egész szám esetén az E(Xk) által felvett értékként határozható meg (feltéve, hogy ez az érték létezik), ahol E(X) az X várható értékét jelöli.

Az X valószínűségi változó k-adik momentumának jelölését tekintve a szakirodalom nem egységes. Sok esetben – a várható értéktől, szórástól, ferdeségtől vagy lapultságtól eltérően – nem szoktak külön jelölést bevezetni, hanem kiírják az E(Xk)-t. Találkozhatunk helyenként a μk = E(Xk) jelöléssel, más könyvekben viszont a μk a centrális momentumot jelöli.

Az eloszlásfüggvényt momentumainak sorozata meghatározza, amennyiben a momentumgeneráló függvény konvergens. Az előre megadott momentumokkal bíró eloszlás meghatározása a momentumprobléma, ami fontos a technikai mechanikában.

Vannak eloszlások, amelyeknek csak véges sok momentuma létezik. Ide tartoznak a t-eloszlások, amelyeknek csak olyan rendű momentumai vannak, amelyek kisebbek a szabadsági fokánál. Speciálisan, a Cauchy-eloszlás esetén már első momentum, a várható érték sincs; ugyanez a helyzet a Lévy-eloszlással.

DefinícióSzerkesztés

Legyen   valószínűségi változó, és   természetes szám. Ekkor    -adrendű momentuma vagy  -adik momentuma    ‑-adik hatványának várható értéke, feltéve, hogy az létezik:

 

   -adik abszolút momentuma az   abszolútérték  -adik hatványának várható értéke:

 

Elméleti vizsgálatokban a   nem feltétlenül egész, ilyenkor  -val jelölik. Bizonyos rendű momentumok létezése az egész eloszlást jellemzi általánosan. Az első momentum a várható érték. Gyakori jelölése:  , és az eloszlás középértékének tekinthető.

Valós valószínűségi változó momentumaiSzerkesztés

Legyen   az   valószínűségi mezőn értelmezve és eloszlásfüggvénye  . Ekkor a momentumok kifejezhetők Stieltjes-integrállal a várható érték definíciója alapján:

 .

Ha   abszolút folytonos valószínűségi változó, és sűrűségfüggvénye  , akkor:

 ,

Diszkrét valószínűségi változó esetén, aminek értékei   és valószínűségei  :

 .

A   valószínégi mérték szerinti Lebesgue-integrállal ezek egységesen:

 .

Centrális momentumokSzerkesztés

A fent definiált momentumok mellett centrális momentumokat is értelmeznek, amelyek figyelembe veszik a várható értéket is.

 

és

 

Az első abszolút centrális momentum a standard abszolút eltérés:

 

A második centrális momentum a szórásnégyzet:

 

A harmadikból és a negyedikből számítják a ferdeséget és a lapultságot. A ferdeség a szimmetrikustól való eltérést, a lapultság az eloszlás alakját jellemzi. Magasabb momentumoknak is nevezik őket.

Momentumok, karakterisztikus függvény és kumulánsokSzerkesztés

A karakterisztikus függvény képletének többszörös deriválásával kifejezhetjük a közönséges momentumokat a karakterisztikus függvénnyel

 

A momentumgeneráló függvényből is megkaphatók a momentumok. A  -adik momentum kifejezhető az első   kumuláns   polinomjaként. Ez éppen a    -adik teljes Bell-polinom:

 .

Markov-egyenlőtlenségSzerkesztés

A momentumok jelentőségét a Markov-egyenlőtlenség világítja meg:

Ha az   valószínűségi változónak létezik a  -adik   abszolút momentuma, akkor

 ,

ami a nagy abszolút értékű értékekről tesz kijelentést. Speciálisan, ha  , akkor a becslés a szórásnégyzetről szól:

 ,

a Csebisev-egyenlőtlenség, ami a nagy eltéréseket becsli.

Közös momentumokSzerkesztés

A momentum fogalma kiterjeszthető több valószínűségi változó esetére. Ha   és   valószínűségi változó, akkor közös momentumaik

 

ahol   közös sűrűségfüggvény.

A centrális közös momentumok hasonlóan definiálhatók:

 .

Ahol   az   és   kovarianciája.

SzámításSzerkesztés

A momentumok számításához a first-order second-moment eljárás ad közelítő eredményt.

További momentumokSzerkesztés

A valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában más momentumok is előfordulnak, ezek közül a legfontosabbak:

A momentum speciális esete a kezdeti momentum, melyet a centrális momentum definiálása kapcsán szoktak bevezetni.

MegjegyzésekSzerkesztés

  • A k-adik momentum kifejezés helyett szokás k-ad rendű momentumot is használni.
  • Látható, hogy az első momentum azonos a várható értékkel, vagyis a momentum tekinthető a várható érték általánosításának is.

ForrásokSzerkesztés

  • Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
  • Medgyessy P. – Takács L. (1973): Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest.
  • Michelberger P. – Szeidl L. – Várlaki P. (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
  • Athanasios Papoulis, S. Unnikrishna Pillai: Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. McGraw-Hill Publishing Co.; 4Rev Ed edition (2002), ISBN 0-07-366011-6.

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Moment (Stochastik) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.