Csebisev-egyenlőtlenség

A Csebisev-egyenlőtlenség a valószínűségszámítás egyik egyenlőtlensége. Nevét Pafnutyij Lvovics Csebisev orosz matematikusról kapta. Lényege, hogy jelentőséget ad a szórásnak, azaz arra ad becslést a szórás felhasználásával, hogy egy valószínűségi változó mekkora eséllyel tér el egy előre adott mértéknél jobban a várható értéktől.

Állítás

Formálisan, legyen $X$ véges szórású valószínűségi változó, várható értéke

$\mu :=\operatorname {E} (X)$

és szórásnégyzete

$\sigma ^{2}:=\operatorname {Var} (X)$.

Ekkor a $k>0$ valós számokra

$\operatorname {P} \left[\left|X-\mu \right|\geq k\right]\leq {\frac {\sigma ^{2}}{k^{2}}}$.

A komplementer eseményre

$\operatorname {P} \left[\left|X-\mu \right|<k\right]\geq 1-{\frac {\sigma ^{2}}{k^{2}}}$.

A becslés jósága

A Csebisev-egyenlőtlenség éles abban az értelemben, hogy vannak valószínűségi változók, amelyekre a becslés egyenlőséggel teljesül.

Legyen például $X$ diszkrét valószínűségi változó, és

$\operatorname {P} \left[X=0\right]=1-p$

továbbá

$\operatorname {P} \left[X=-a\right]=\operatorname {P} \left[X=a\right]=p/2$,

ahol $a$ egy pozitív szám, és $p\in (0,1)$. Ekkor $\mu =\operatorname {E} (X)=0$ és $\sigma ^{2}=\operatorname {Var} (X)=a^{2}p$, így a becslés

$P(|X-0|\geq k)\leq {\frac {a^{2}p}{k^{2}}}$

ami $k=a$ esetén egyenlőséggel teljesül, mivel ekkor $P(|X|\geq k)=P(|X|\geq a)=p$.

Általában a becslés nem sokat mond. Például, ha $k\leq \sigma$, akkor a becslés triviális. A tétel mégis gyakran hasznos, mivel ehhez nem kell ismerni az eloszlást, és minden véges szórású valószínűségi változóra alkalmazható, még a normális eloszlástól távol állókra is. A korlátok is egyszerűen meghatározhatók.

Változatok

Standard eltéréssel

Ha a $\sigma$ standard eltérés nem nulla, és $\lambda$ pozitív, akkor a $k=\lambda \sigma$ helyettesítéssel az egyenlőtlenség gyakran idézett alakját kapjuk:

$\operatorname {P} \left[\left|X-\mu \right|\geq \lambda \sigma \right]\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}$.

Ez csak $\lambda >1$ esetén ad érdemi becslést, mivel a $0<\lambda \leq 1$ esetben triviális, hiszen a valószínűségek sosem nagyobbak 1-nél.

Magasabb momentumokra

Az egyenlőtlenség magasabb momentumokra is általánosítható. Ezt nem ritkán szintén Csebisev-egyenlőtlenségnek nevezik, A valószínűségszámításban ez inkább Markov-egyenlőtlenségként ismert. Néhány szerző a Csebisev-Markov elnevezést használja.

Az egyenlőtlenség azt mondja, hogy ha $(\Omega ,\Sigma ,\nu )$ mértéktér, $f\colon \Omega \to \mathbb {R} _{0}^{+}$ mérhető függvény, és $\varepsilon ,p\in \mathbb {R} ^{+}$, akkor teljesül, hogy:

$\nu (\{x\mid f(x)\geq \varepsilon \})\leq {\frac {1}{\varepsilon ^{p}}}\int _{\Omega }f^{p}{\rm {d}}\nu$.

Ez következik abból, hogy:

$\int _{\Omega }f^{p}\;{\rm {d}}\nu \geq \int _{\{x\mid f(x)\geq \varepsilon \}}f^{p}\;{\rm {d}}\nu \geq \int _{\{x\mid f(x)\geq \varepsilon \}}\varepsilon ^{p}\;{\rm {d}}\nu =\varepsilon ^{p}\nu (\{x\mid f(x)\geq \varepsilon \})$

Ebből speciális esetben adódik az eredeti egyenlőtlenség, ha $\nu =P$, $f=|X-\mu |$ és $p=2$, akkor :$P(|X-\mu |\geq k)=P(|X-\mu |^{2}\geq k^{2})\leq {\frac {1}{k^{2}}}\int _{\Omega }|X-\mu |^{2}\;{\rm {d}}P={\frac {\sigma ^{2}}{k^{2}}}$.

Példák

1. példa

A példa kedvéért tegyük fel, hogy egy Wikipédián a cikkek hosszának várható értéke 1000 bájt, a szórás 200 bájt! Ekkor a Csebisev-egyenlőtlenség szerint a cikkek legalább 75%-ának hossza 600 és 1400 közé esik ($k=400,~\mu =1000,~\sigma =200$).

A számítás:

$\operatorname {P} \left[\left|X-1000\right|<400\right]\geq 1-{\frac {200^{2}}{400^{2}}}=0{,}75=75\ \%$

2. példa

Az egyenlőtlenség egy másik alkalmazása az, hogy ha egy véges szórású valószínűségi változó várható értéke $\mu$ és szórása $\sigma$, akkor az értékek fele az $(\mu -{\sqrt {2}}\sigma ,\mu +{\sqrt {2}}\sigma )$ intervallumba esik.

3. példa

Egy véletlen esemény $p$ valószínűséggel következik be. A kísérletet $n$-szer végzik el, az esemény $k$-szor következik be. Ekkor $k$ binomiális eloszlású, várható értéke $np$, szórásnégyzete $np(1-p)$; a bekövetkezés relatív gyakorisága ${\tfrac {k}{n}}$, ennek várható értéke $p$ és szórásnégyzete ${\tfrac {p(1-p)}{n}}$. A Csebisev-egyenlőtlenség szerint a relatív gyakoriság eltérése a várható értéktől

$\operatorname {P} \left[\left|{\frac {k}{n}}-p\right|\geq \epsilon \right]\leq {\frac {p(1-p)}{\epsilon ^{2}n}}\leq {\frac {1}{4\epsilon ^{2}n}}$,

ahol a második becslést a számtani és mértani közepek egyenlőtlenségéből következő ${\sqrt {p(1-p)}}\leq {\tfrac {1}{2}}$ adja.

Ez a forma már a nagy számok gyenge törvényének speciális esete, ami a relatív gyakoriságok sztochasztikus konvergenciáját mutatja a várható értékhez.

Ennél a példánál a Csebisev-egyenlőtlenség csak durva közelítést ad, pontosabb becslést a Chernoff-egyenlőtlenség szolgáltat.

Alkalmazások

• Felhasználják a Borel-Cantelli-lemma és a nagy számok gyenge törvényének bizonyításában.
• Az általánosítással megmutatható, hogy a függvénysorozatok $L^{p}\;$ értelemben vett konvergenciájából következik a mérték szerinti konvergencia.
• Az $m$ mediánra igaz, hogy $\left|\mu -m\right|\leq \sigma$.

Bizonyítása

A legtöbb szerző a Markov-egyenlőtlenségből vezeti le. A Markov-egyenlőtlenség

$P\left[Y\geq k\right]\leq {\frac {\operatorname {E} \left[h(Y)\right]}{h(k)}}.$

ahol $Y=|X-\mu |$ és $h(x)=x^{2}$.

Önálló bizonyítás található például Wirthsnél. Legyen

$A_{k}=\{\omega \in \Omega \mid |X-\mu |\geq k\}$.

és jelölje $\mathbf {1} _{A}$ az $A$ halmaz indikátorfüggvényét. Ekkor minden $\omega$ esetén teljesül az

$|X(\omega )-\mu |^{2}\geq k^{2}\mathbf {1} _{A_{k}}(\omega )$

egyenlőtlenség.

Ha $\omega \notin A_{k}$, akkor a jobb oldal nulla, és az egyenlőtlenség teljesül. Ha $\omega \in A_{k}$, akkor definíció szerint a bal oldalon az $A_{k}$ halmaz definíciója szerint tartalmaz legalább egy $k^{2}$ értéket, így az egyenlőtlenség megint teljesül. A várható érték monotonitása miatt és a vele való számolás szabályai miatt a szórásnégyzet írható, mint

$\sigma ^{2}=\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (|X-\mu |^{2})\geq \operatorname {E} (k^{2}\mathbf {1} _{A_{k}})=k^{2}P(A_{k})=k^{2}P(|X-\mu |\geq k)$.

$k^{2}$-tel osztva az egyenlőtlenség az állításban megadott alakot ölti.

Története

Csebisev a diszkrét valószínűségi változókra bizonyította a tételt, és ezt 1867-ben jelentette meg Szentpéterváron és Párizsban, ott Joseph Liouville újságjában, aminek címe Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Azonban egy általánosabb bizonyítás már 1853-ban megjelent Irénée-Jules Bienaymé tollából, a Considérations a l’appui de la découverte de Laplace sur la loi de probabilité dans la méthode des moindres carrés. című lapban. Ez nem sokkal Csebisev cikkének megjelenése előtt újra közölte a cikket, és Csebisev elismerte Bienaymé elsőbbségét.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Tschebyscheffsche Ungleichung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.