Markov-egyenlőtlenség (valószínűségszámítás)
A Markov-egyenlőtlenség a valószínűségszámításban becslést ad arra, hogy a valószínűségi változó kimenetele mekkora valószínűséggel halad meg egy megadott számot. Andrej Andrejevics Markov után nevezték el.
Állítás szerkesztés
Legyen valószínűségi mező, valós értékű valószínűségi változó, adott valós szám és monoton növő függvény. Továbbá értelmezési tartománya tartalmazza képhalmazát. Ekkor az általános Markov-egyenlőtlenség szerint
![{\displaystyle h(a)P\left[X\geq a\right]\leq \operatorname {E} \left[h(X)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfedd85cb6d5cce1ba27bc786468b6475c56b84f)
ami esetén írható úgy is, mint
![{\displaystyle P\left[X\geq a\right]\leq {\frac {\operatorname {E} \left[h(X)\right]}{h(a)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c9767b0a539a195a3fce5f4ea94edd5ea6b02c8)
Változatok szerkesztés
Legyen , ha , és legyen valós valószínűségi változók, ekkor esetén adódik a speciális eset:
![{\displaystyle P\left[|X|\geq a\right]\leq {\frac {\operatorname {E} \left[|X|\right]}{a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f6f9999b2900e14265a1f1586c73e583dd327b8)
Ezt a speciális esetet területek összehasonlításával lehet bizonyítani, és hasonló módon a Csebisev-egyenlőtlenség is bizonyítható.[1]
Legyen , ahol , akkor következik a -szeres túllépést becslő változat:
![{\displaystyle a=c\cdot \operatorname {E} [|X|]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449fcf644107c8cc4dcc3c5a7c8bd25578e6af1c)
![{\displaystyle P\left[|X|\geq c\cdot \operatorname {E} [|X|]\right]\leq {\frac {\operatorname {E} \left[|X|\right]}{c\cdot \operatorname {E} \left[|X|\right]}}={\frac {1}{c}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2646bb374e0ee9755c5791c3638352137b1b77b8)
Legyen és alkalmazzuk a Markov-egyenlőtlenséget az valószínűségi változóra. Ekkor esetén a Csebisev-egyenlőtlenséghez jutunk:
![{\displaystyle Y=|X-\operatorname {E} [X]|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f87f1ba479302c06218961597c2a4d244c94b79)
![{\displaystyle P\left[|X-\operatorname {E} [X]|\geq a\right]\leq {\frac {\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]}{a^{2}}}={\frac {\operatorname {Var} [X]}{a^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a574c4179520ff89d71e1eb7b7fbf1d7dfac4f3)
Korlátos valószínűségi változó esetén Markov-szerű becslés adható arra, hogy a valószínűségi változó értéke a várható érték -szerese alatt marad. Legyenek és legyen valószínűségi változó úgy, hogy és . Ekkor minden esetén:
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[|X|\right]\geq {\frac {a}{b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/318e03e1146844768a09c6bb35533086750ad3e8)
![{\displaystyle P\left[|X|\leq (1-c)\operatorname {E} \left[|X|\right]\right]\leq 1-{\frac {c}{b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e7de8f00406ddf5ff61dfb39b0981b34802767a)
Ez a változat önállóan is bizonyítható, az eredeti Markov-egyenlőtlenséghez hasonlóan.[2]
Ha , akkor alkalmas paraméterrel nagyon jó becslést lehet nyerni, lásd Csernov-egyenlőtlenség. Sőt, megfelelő feltételek esetén ez a becslés optimális.
Bizonyítás szerkesztés
Legyen az halmaz indikátorfüggvénye. Ekkor
![{\displaystyle h(a)P\left[X\geq a\right]=\int I_{\{X\geq a\}}h(a)\ dP\leq \int I_{\{X\geq a\}}h(X)\ dP\leq \operatorname {E} \left[h(X)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ba4da3f3bbcf38788ea20d92dce97cdf705b157)
Jegyzetek szerkesztés
- ↑ H. Wirths: Der Erwartungswert – Skizzen zur Begriffsentwicklung von Klasse 8 bis 13. In: Mathematik in der Schule 1995/Heft 6, S. 330–343.
- ↑ Piotr Indyk, Sublinear Time Algorithms for Metric Space Problems. Proceedings of the 31st Symposium on Theory of Computing (STOC'99), 428–434, 1999.
Fordítás szerkesztés
Ez a szócikk részben vagy egészben a Markow-Ungleichung (Stochastik) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.