First-order second-moment eljárás

valószínűségszámítási eljárás

A valószínűségszámításban a first-order second-moment eljárás, másként mean value first-order second-moment módszer egy közelítő módszer egy függvény momentumainak számítására, ahol a bemenő mennyiségek véletlenek. Az angol elnevezés arra utal, hogy a valószínűségi változók elsőrendű Taylor-sorát és első két momentumát használja.

ApproximációSzerkesztés

Adva legyen a   célfüggvény, ahol az   vektor az   véletlen vektor realizációja, aminek sűrűségfüggvénye  . Mivel   véletlen, azért   is véletlen.

Az algoritmus közelítése a várható értékre

 

és a szórásnégyzetre

 

ahol   az   dimenziója, és   a középértékvektor parciális deriváltja   i-edik koordinátája szerint.

LevezetésSzerkesztés

A célfüggvényt a (tapasztalati) várható értékek   vektora körüli Taylor-sorba fejtjük:

 

Ezt a várható érték és a szórásnégyzet approximációjához is felhasználjuk.

Várható értékSzerkesztés

  várható értéke a kövertkező integrállal határozható meg:

 

A Taylor-sor behelyettesítésével

 

SzórásnégyzetSzerkesztés

A   célfüggvény szórásnégyzete:

 

Az eltolási tétellel:

 

A Taylor-sor helyettesítésével:

 

Magasabb rendű approximációSzerkesztés

Az egyszerűség kedvéért a magasabb rendű approximációhoz a következő jelöléseket vezetik be:

 

Továbbá feltételezik, hogy   értékei függetlenek egymástól. A másodfokú tag figyelembe vételével a várható érték közelítése:

 

A szórásnégyzeté:

 

  ferdesége a   harmadik centrális momentumból számítható. Csak a lineáris tagok figyelembe vételével, de a magasabb momentumokra a közelítés:

 

A másodrendű közelítés megtalálható itt: B. Kriegesmann, "Probabilistic Design of Thin-Walled Fiber Composite Structures", Mitteilungen des Instituts für Statik und Dynamik der Leibniz Universität Hannover 15/2012[1] Ekkor az algoritmus elnevezése second-order third-moment eljárás.[2] A szórásnégyzet másodrendű közelítésének teljes approximációja negyedfokig veszi figyelembe a tagokat, a harmadik centrális momentumé és ferdeségé pedig hatodfokig.[1]

JegyzetekSzerkesztés

  1. a b B. Kriegesmann, "Probabilistic Design of Thin-Walled Fiber Composite Structures", Mitteilungen des Instituts für Statik und Dynamik der Leibniz Universität Hannover 15/2012, ISSN 1862-4650, Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover, Hannover, Germany, 2012, PDF; 10,2MB[halott link].
  2. Y. J. Hong, J. Xing, and J. B. Wang, "A Second-Order Third-Moment Method for Calculating the Reliability of Fatigue", Int. J. Press. Vessels Pip., 76 (8), pp 567–570, 1999.

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a First-order second-moment Methode című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.