Lévy-eloszlás

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a Lévy-eloszlás olyan folytonos valószínűség-eloszlás, mely nem negatív valószínűségi változókra érvényes.

Az eloszlás Paul Pierre Lévy francia matematikusról kapta a nevét.

A Lévy-eloszlás az inverz gamma-eloszlás speciális esete.

A Lévy-eloszlás azon kevés eloszlások közé tartozik, melyeket stabil eloszlásnak neveznek. Ilyenek még a normális eloszlás, és a Cauchy-eloszlás, melyeknek általában nincs analitikusan kifejezhető valószínűség sűrűségfüggvényük.

Sűrűségfüggvény különböző c-kre

Alkalmazása

• Geomágneses jelenségek közel Lévy-eloszlást követnek
• A Brown mozgáskor egy pont Lévy-eloszlás szerint mozog
• Zavaros közegben egy foton pályája Lévy-eloszlást mutat

Definíció

A sűrűségfüggvény a $x\geq \mu$ tartományban:

$f(x;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~~{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}}$

ahol $\mu$ a helyparaméter, és $c$ a skálaparaméter. A kumulatív eloszlásfüggvény:

$F(x;\mu ,c)={\textrm {erfc}}\left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu )}}}\right)$

ahol ${\textrm {erfc}}(z)$ a hibafüggvény.

A $\mu$ helyparaméter hatására a görbe $\mu$ értékkel eltolódik jobbra. A Lévy-eloszlásnak, mint minden stabil eloszlásnak, van egy standard formája f(x;0,1), melynek a következő jellemző tulajdonsága van:

$f(x;\mu ,c)dx=f(y;0,1)dy\,$

ahol y:

$y={\frac {x-\mu }{c}}\,$

A karakterisztikus függvény:

$\varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}.$

A stabil eloszlásoknál a karakterisztikus függvényt $\alpha =1/2$, és $\beta =1$ esetekre fel lehet írni:

$\varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-|ct|^{1/2}~(1-i~{\textrm {sign}}(t))}.$

Feltételezve, hogy a $\mu =0$, az nik momentum az eltolatlan Lévy-eloszlásnál:

$m_{n}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x}\,x^{n}}{x^{3/2}}}\,dx$

mely divergál minden n> 0 esetében, így a Lévy-eloszlás momentumai nem léteznek. A momentum generáló függvény:

$M(t;c)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}}\,dx$

mely t>0-nál divergál, ezért nem definiálható zéró közeli tartományokban, és ezért nem definiálható saját magában. Mint minden stabil eloszlásnál, kivéve a normális eloszlást, a sűrűségfüggvény “szárnyai” viselkedése:

$\lim _{x\rightarrow \infty }f(x;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~{\frac {1}{x^{3/2}}}.$

Ezt az alábbi ábra mutatja, ahol a sűrűségfüggvény látható különböző c és $\mu =0$ értékek mellett, log-log ábrázolásban:

Sűrűségfüggvény különböző c értékeknél

Kapcsolódó eloszlások

• Ha $X\sim {\textrm {Levy}}(\mu ,c)\,$, akkor $kX+b\sim {\textrm {Levy}}(k\mu +b,kc)\,$
• Ha $X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(0,c)$, akkor $X\,\sim \,{\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})$ (inverz gamma eloszlás)
• A Lévy-eloszlás 5. tipusú Pearson-eloszlás
• Ha $Y\,\sim \,{\textrm {Normal}}(\mu ,\sigma ^{2})$ (Normális eloszlás), akkor ${(Y-\mu )}^{-2}\sim \,{\textrm {Levy}}(0,1/\sigma ^{2})$
• Ha $X\sim {\textrm {Normal}}(\mu ,{\tfrac {1}{\sqrt {\sigma }}})\,$ , akkor ${(X-\mu )}^{-2}\sim {\textrm {Levy}}(0,\sigma )\,$
• Ha $X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(\mu ,c)$, akkor $X\,\sim \,{\textrm {Stable}}(1/2,1,c,\mu )\,$ (Stabil eloszlás)
• Ha $X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(0,c)$ akkor $X\,\sim \,{\textrm {Scale-inv-}}\chi ^{2}(1,c)$ (Skálázott inverz khí-négyzet eloszlás)
• Ha $X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(\mu ,c)$, akkor ${(X-\mu )}^{-{\tfrac {1}{2}}}\sim \,{\textrm {FoldedNormal}}(0,1/{\sqrt {c}})$ (Féloldalas normális eloszlás)

Jellemzők

• Tartomány =$x\in [\mu ,\infty )$
• Sűrűségfüggvény =${\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~~{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}}$
• Kumulatív eloszlás f. =${\textrm {erfc}}\left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu )}}}\right)$
• Várható érték =$\infty$
• Medián =$c/2({\textrm {erfc}}^{-1}(1/2))^{2}\,$, for $\mu =0$
• Módusz =${\frac {c}{3}}$, for $\mu =0$
• Szórásnégyzet =$\infty$
• Ferdeség =nem definiált
• Lapultság = nem definiált
• Entrópia =${\frac {1+3\gamma +\ln(16\pi c^{2})}{2}}$

ahol $\gamma$ az Euler-állandó

• Momentgeneráló függvény = nem definiált
• Karakterisztikus függvény=$e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}$

Irodalom

1. * Rogers, Geoffrey L: Multiple path analysis of reflectance from turbid media. (hely nélkül): Journal of the Optical Society of America A, 25:11. 2008. 2879–2883. o.  

Kapcsolódó szócikkek

• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Normális eloszlás

Források

• Adatok Archiválva 2006. október 30-i dátummal a Wayback Machine-ben