Fourier-sor

Legyen $f\in R_{[2\pi ]}$ egy $\mathbb {R}$-en értelmezett, $2\pi$ periódusú és a $\left[0,2\pi \right]$ intervallumon Riemann-integrálható függvény. Ekkor az $f$ Fourier-során a következő függvénysort értjük:

$f(x)\sim {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx\right)$,

ami a következőképpen olvasandó: „az f függvény Fourier-sora …”. Az együtthatókat megadó képletek:

$a_{k}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\cos kx\,{\text{d}}x$ $\left(k=0,1,2\dots \right)$

és

$b_{k}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\sin kx\,{\text{d}}x$ $\left(k=1,2,\dots \right)$.

Az $\left\{a_{k}\right\}_{k\geq 0},\left\{b_{k}\right\}_{k\geq 1}$ számokat az $f$ függvény Fourier-együtthatóinak nevezzük.

Ha előáll ilyen alakban a függvény (azaz egyenlőség áll fent), akkor ez az egyetlen együttható-sorozat, amire ez igaz.

Ha $f$ páros függvény, akkor $b_{k}=0$ és

$a_{k}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }f(x)\cos kx\,{\text{d}}x$.

Ha $f$ páratlan függvény, akkor $a_{k}=0$ és

$b_{k}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }f(x)\sin kx\,{\text{d}}x$.

Kapcsolódó szócikkek

• Fourier-analízis
• Fejér-tétel

További információk

• Letölthető interaktív Java szimuláció a Fourier-analízisről a PhET-től, magyarul.

Források

• Komornik Vilmos: Valós analízis előadások I-II. Typotex Kiadó, 2003. ISBN 963-9548-21-9, ISBN 963-9548-22-7