Vektormező

A vektoranalízisben és a differenciálgeometriában a vektormező egy olyan függvény, ami egy tér vagy egy térrész pontjaihoz vektort rendel. A fizikában a mezőelméletben fontosak, például egy áramló folyadék részecskéinek sebességét, vagy egy erőtér pontjaiban az adott pontban fellépő erő nagyságát és irányát adja meg, például a mágneses vagy a gravitációs mezőben. Euklideszi téren és sokaságokon is értelmezhető.

Vektormező ábrázolása. Az egyes pontokhoz hozzárendelt értékeket nyilak szemléltetik
A (-y,z,x) háromdimenziós vektormező

Az euklideszi téren

szerkesztés

Az   halmazon értelmezett   vektormező egy olyan leképezés, ami minden   ponthoz egy   vektort rendel, vagyis  . Ha   k-szor differenciálható, akkor a vektormező  -vektormező. A vektormezőket szemléltető ábrákon néhány   pontban nyíllal jelölik a vektormező értékét, amely nyíl nagysága és iránya megegyezik a vektormező által az adott pontban felvett vektorral.

  • Középpontos vektormezők: Legyen   intervallum, ami tartalmazza a nullát, és   gömbhéj. A középpontos vektormező így definiálható a gömbhéjon:
  ha  .
  • Az   téren a   gravitációs mező középpontos vektormező.
  • További példákat képez a rotáció, mint differenciáloperátor. Ezek az úgynevezett örvénymezők. Ezeknek a mezőknek van egy   vektorpotenciáljuk, ahol is  . Erre példák a fürdőkádban a lefolyónál kialakuló örvények, vagy az áramjárta vezető környezetében kialakuló mágneses tér.
  • Gradiensmező, egy skalármező gradiense. Ha   a skalármező, akkor gradiense
 .

a nabla operátorral:

 

Ha a vektormező gradiensmező, akkor van skalárpotenciálja. A   vektormező skalárpotenciálja   . Ekkor a vektormező potenciálos. Gradiensmező a pontforrásból kifelé folyó áramlás, és a ponttöltés körüli elektromos mező.

Felbontási tétel

szerkesztés

Egy kétszer folytonosan differenciálható     vektormező forrásmentes, illetve örvénymentes, ha divergenciája illetve rotációja azonosan nulla. Ha még azt is kikötjük, hogy a   vektormező elég gyorsan tart a nullához a végtelenben, akkor teljesül a felbontási tétel: Minden   vektormezőt egyértelműen meghatároznak a forrásai és az örvényei, és felbontható forrás- és örvénymentes vektormezők összegére:

 

Ez megfelel a statikus elektromágneses mező elektromos, illetve mágneses mezőre való felbontásának,[1] ahol is a forrásmentes rész a mágneses, és az örvénymentes rész az elektromos mező. Az is teljesül még, hogy éppen a gradiensmezők örvénymentesek, és éppen az örvénymezők forrásmentesek. Itt       és   az ismert, nabla operátorral kifejezhető differenciáloperátorok.

Sokaságokon

szerkesztés

Jelöljön   differenciálható sokaságot. Ekkor a rajta értelmezett vektormezők a TM érintősereg sima metszetei.

Pontosabban, ha a  vektormező  -leképezés, akkor   ahol  . Minden   -hez egy   vektort rendel. A   leképezés a   természetes vetülete, ahol  .

Ez a definíció az euklideszi vektortérbeli vektormezőt általánosítja. Ugyanis   és  .

A vektormezőktől eltérően a skalármezők a sokaság minden pontjához egy skalárt rendelnek.

Alkalmazások

szerkesztés

A vektor- és az erőtereket a fizikán és a kémián kívül még a technika különböző területein is alkalmazzák: a geodéziában, az elektrotechnikában, a mechanikában, az atomfizikában és az alkalmazott geofizikában.

  1. U. Krey, A. Owen, Basic Theoretical Physics - A Concise Overview, Berlin, Springer 2007, ISBN 978-3-540-36804-5 , part II
  • Konrad Königsberger: Analysis 2. 5. javított kiadás. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20389-3.
  • R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. 2. Auflage. Springer, Berlin 1988, ISBN 3-540-96790-7.
  • John M. Lee: Introduction to smooth manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer, New York u. a. 2003, ISBN 0-387-95495-3.