Belövéses módszer

A belövéses módszer (angolul: shooting method) a numerikus analízisben a peremérték-feladatok megoldására alkalmazott módszer. A módszer elve, hogy a peremérték-feladatot átalakítja egy Cauchy-féle feladattá.

AlkalmazásSzerkesztés

Egy másodrendű közönséges differenciálegyenletből álló peremérték-feladat megoldására a módszer a következőképpen alkalmazható:

Legyen:

 

a peremérték-feladat. A következőkben a feladatunkat átalakítjuk egy kezdőérték-feladattá:

 

Legyen:

 

Ha F-nek van gyöke, akkor egyértelműen a neki megfelelő kezdőérték-feladat y(t; s) megoldása a peremérték-feladat megoldása is.

PéldaSzerkesztés

A következőkben tekintsünk át egy problémát, amelyet Stoer és Burlisch fogalmazott meg.

 

Az ebből következtetett kezdő-érték feladat:

 

megoldva s = −1, −2, −3, ..., −100 értékek esetében: F(s) = w(t1;s) − w(1) = w(1; s) - 1 függvény grafikus képe látható az 1.1-es ábrán. Megvizsgálva a grafikont, azt láthatjuk, hogy a gyökök s = −8 és s = −36 közelében találhatóak.

 
1.1 Ábra: F(s) = w(1;s) − 1.

Az 1.2. Ábra a w(t;s) függvény van feltüntetve, különböző s értékek esetén.

 
1.2 Ábra: w(t;s) pályák, ahol s = w'(0) egyenlő −7 (piros), −8 (zöld), −10 (kék), −36 (cián) és −40 (rózsaszín). A piros gyémánt az (1,1)-es pont helyzetét jelöli.

Stoer és Bulirsch azt állítják, hogy ennek a peremérték-feladatnak két megoldása van, amelyek algebrai módszerekkel is megtalálhatóak. Ezek a következő kezdő-érték feltételeknek felelnek meg: w′(0) = −8 és w′(0) = −35.9 (körülbelül).


ForrásokSzerkesztés