A Bolzano-tétel szerint intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő, folytonos függvénynek van zérushelye.

BizonyításSzerkesztés

Egymásba skatulyázott intervallumokkalSzerkesztés

Legyen   a fenti függvény és a illetve b az értelmezési tartományának olyan pontjai, melyekben a függvény előjele ellenkező és a < b. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy  . Intervallumfelezéses eljárással megmutatjuk, hogy a függvénynek van zérushelye. Legyen   és   a következő, közösen, rekurzív módon definiált sorozat:

 
 

Tetszőleges  -re legyen

 

Ha  , akkor megtaláltuk f egy keresett zérushelyét.
Ha  
Ha  

Ha c sosem nulla, akkor:   monoton nő,   monoton csökken, mivel az algoritmust így készítettük el.
A két sorozat tagjainak „távolsága”:  . Mivel   zárt intervallum, és mert mindkét sorozat monoton,   és  , és ezek (*) miatt egyenlőek. Legyen ez a határérték ξ!

De f folytonos ξ-ben, tehát a folytonosságra vonatkozó átviteli elv alapján:   és  . Ez csak úgy lehetséges, ha  

A nemsztenderd analízis eszközeivelSzerkesztés

Legyen f a fenti tulajdonságú függvény és legyen a illetve b az értelmezési tartománya olyan pontja, hogy a<b és f(a)<0<f(b) (ez feltehető; ellenkező esetben -f-re kell alkalmazni a gondolatmenetet). Legyen ω végtelen nagy természetes szám. Osszuk fel az [a,b] intervallumot ω darab egyenlő részre, az osztópontokat jelöljük xn-nel. Legyen

 

H nem üres, mert f(a) negatív (a az első „osztópont”) és véges halmaz a nemsztenderd valós számok között (ezt úgy jelöljük, hogy H *véges), így van maximális eleme. Legyen ez az elem M és a hozzá tartozó osztópont xM. Belátjuk, hogy ha ξ az xM sztenderd része (vagyis az a normális valós szám, ami végtelenül közel van xM-hez), akkor f(ξ) = 0.

Ha f(ξ) > 0 lenne, akkor f(xM)-et (tekintve, hogy f(xM) nem pozitív) egy véges, nemnulla sztenderd szám választaná el f(ξ)-től, ami f folytonossága miatt lehetetlen (hiszen ξ végtelen közel van xM-hez).

Ha f(ξ) < 0 lenne, akkor szintén a folytonosság miatt minden, a ξ ponthoz végtelenül közeli pontban a függvény negatív, például az

 

helyen is (világos, hogy xM+1 létezik és kisebb mint b, mert ott f pozitív lenne), ami ellentmond M maximális voltának.

Ekvivalens állításSzerkesztés

A Bolzano-tételt a következőképpen is ki szokták mondani:

  • Ha   korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény, és  , akkor van az   nyílt intervallumon zérushelye.
  • Ha   korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény, akkor minden  -re létezik olyan  , amire  .

Ez a két megfogalmazás ekvivalens.

KövetkezménySzerkesztés

Ez a kiterjesztés a következőt jelenti: minden a fenti feltételeknek eleget tevő (intervallumon értelmezett és folytonos) függvényre igaz, hogy minden  -re, ha  , igaz, hogy  .

Vegyük észre, hogy ez a függvény Darboux-tulajdonságát jelenti, azaz minden intervallumon értelmezett folytonos függvény Darboux-tulajdonságú. (Lásd: Bolzano–Darboux-tétel)

További információkSzerkesztés