Casus irreducibilis

A matematikában (közelebbről az algebrában) casus irreducibilisnek nevezzük azt az esetet, amikor egy olyan valós együtthatós harmadfokú polinom gyökeit kívánjuk kiszámítani, melynek három különböző valós gyöke van. A komplex számok bevezetéséig elfajult esetnek számított az algebrai egyenletek elméletében.

Az irreducibilitás látszataSzerkesztés

Egy ilyen harmadfokú polinom a valós számok teste fölött is felbontható elsőfokúak szorzatára, azaz, ha x1, x2, x3 a három gyök és a a harmadfokú tag együtthatója, akkor a polinom

 

alakú lesz. A gyököket a harmadfokú egyenlet megoldóképletével, a Cardano-képlettel kaphatjuk meg. Ám, pont ebben a tipikusnak mondható esetben fordul elő az, hogy a megoldóképletben szereplő négyzetgyök alatt negatív szám áll. Amennyiben ragaszkodunk ahhoz, hogy az általános eljárást kívánjuk folytatni, és a képlet alapján határozzuk meg a gyököket, nincs más út, minthogy a számítást komplex mennyiségekkel végezzük el. Eredményünk szükségképpen az lesz, hogy az összes gyök valós, annak ellenére, hogy ehhez az eredményhez a komplex számokon keresztül jutottunk. A polinom tehát fölbontható (reducibilis), de a fölbontás elvégzéséhez nem elegendőek a valós műveletek.

PéldaSzerkesztés

Tekintsük a

 

polinomot. Nyilvánvaló, hogy p(x)-nek három valós gyöke van, hisz x-et kiemelve:

 

azaz x1 = 0, x2 = 1 és x3 = -1.

A Cardano-képlet levezetésekor végzett eljárás a következő: x-re a Vieta-féle (Vietié-formula) helyettesítést alkalmazzuk:

 

Tehát:

 
 

A p(x)=0 átrendezhető egy u3-ben másodfokú egyenletté:

 

1/27-et az egyenletből kivonva látható, hogy nem kapunk u3-re valós(!) megoldást. Ezen a ponton a XVI. század matematikusai észrevették, hogy (a kor színvonalán nem megmagyarázható módon) eredményre vezet, ha egyfajta szimbolikus köbgyök és négyzetgyökvonással folytatják a metódust:

 
 
 

Innen x:

 

ahonnan az x = 0 valós megoldás megkaptuk. Ezután polinomosztással nyerhető a többi gyök is.

A megoldásban szereplő

 

szimbólum az imaginárius egység, mellyel a műveletek elvégzése során lényegében ugyanúgy számolhatunk, mint egy meghatározatlan értékű paraméterrel, melynek különös tulajdonsága, hogy négyzete -1.

Kevésbé triviális esetben bizonytalanná tehet bennünket, hogy tudjuk, a harmadfokú egyenletnek mindig van valós gyöke, megtalálása azonban nem valós számokkal történő számítások útján történik. A komplex számok matematikájának szigorú kifejtése után azonban az elmélet konzisztenciájában nem kételkedhetünk (legfeljebb annyira, amennyire a matematika ellentmondásmentességében is).

ForrásokSzerkesztés

  • Matematikai kisenciklopédia. Budapest: Gondolat. 1968. 74–76. oldal
  • Kleine Enzyklopädie: Mathematik. Leipzig: VEB Verlag Enzyklopädie. 1970. 110–112. oldal