Cayley-tétel
A Cayley-tétel a csoportelmélet egy jelentős eredménye, mely azt mondja ki, hogy minden G csoport izomorf a Sym(G) szimmetrikus csoport valamely részcsoportjával. A G csoport Sym(G) szimmetrikus csoportja nem más, mint a G halmaz önmagára vett összes bijekciójának (tehát permutációjának) csoportja a függvénykompozícióval mint művelettel ellátva.
Az összes G → Sym(G) csoporthomomorfizmus meghatároz egy G-hatást a G-n, de a tétel szerint van egy kitüntetett T: G → Sym(G) homomorfizmus, mely izomorfizmus és amit a csoport reguláris- vagy Cayley-reprezentációjának nevezünk.
A Cayley-tétel következménye, hogy minden tétel, ami permutációcsoportokra igaz, az csoportokra is igaz, mivel minden csoport ábrázolható permutációcsoportként. Az elnevezés Arthur Cayley nevét őrzi.
Története
szerkesztésBurnside[1] szerint a bizonyítás Jordan[2] érdeme, viszont Eric Nummela[3] úgy érvel, hogy bizony a Cayley-tétel megnevezés a helytálló. Cayley abban az 1854. évi cikkében, ahol az algebrai csoport fogalmát is bevezette [4] megmutatta a bijekció létezését, de nem bizonyította, hogy az homomorfizmus is. Nummela megjegyzi azonban, hogy Cayley ezt az eredményt közölte a kor matematikai közösségével, így megelőzte Jordant mintegy 16 évvel.
Bizonyítás
szerkesztés(1) Tekintsük minden g ∈ G elemre az
- lg: G → G, lg(x) = gx (x ∈ G)
úgy nevezett g-vel történő baleltolást. Rögzített g-re lg bijekció (sőt, automorfizmus) G-n. Egyfelől injektív, ugyanis ha minden x,y ∈ G-re
- lg(x) = lg(y)
azaz gx = gy, akkor g-1gx = g-1gy, tehát
- x = y
Másrészt minden G-belit felvesz képként, ugyanis ha h ∈ G, akkor
- lg(g-1h) = gg-1h= h.
(2) Belátjuk, hogy az összes baleltolásokat indexelő
- T: G → Sym(G), T'(g)=lg, (g ∈ G)
leképezés injektív homomorfizmus (azaz monomorfizmus).
Egyrészt minden x,g,h ∈ G-re
- (lg o lh)(x) = lg(lh(x)) = lg(hx) = ghx= lgh(x)
tehát
- T'(g) o T'(h) = T'(gh)
azaz T művelettartó.
Másrészt minden g,h ∈ G-re, ha
- T'(g) = T'(h)
azaz lg = lh, akkor az e ∈ G egységelemen is ugyanazt veszik föl, azaz
- ge = he
azaz g = h.
(3) A T homomorfizmus képe részcsoport Sym(G)-ben, és T injektív, így a Im(T) izomorf G-vel és Im(G) a G csoportreprezentációja Sym(G)-ben.
Megjegyzések a reguláris reprezentációhoz
szerkesztésA csoport egységeleme az identitás permutációnak felel meg. A csoport minden más eleme olyan permutációhoz tartozik, amely nem hagy egyetlen elemet sem helyben. Igaz ez olyan hatványokra is, amelyeknek a kitevője kisebb az alap rendjénél, ezért minden elemhez olyan permutáció tartozik, amely azonos hosszúságú körökből áll: ez a hossz az elem rendje. Egy-egy kör elemei az elem által generált részcsoport egy-egy bal kohalmazait alkotják.
Példák a reguláris reprezentációra
szerkesztésZ2 = {0,1} a modulo 2 összeadással; a 0 elem rendelődik az identitás permutációhoz, az 1 elem pedig az (12) permutációhoz.
Z3 = {0,1,2} a modulo 3 összeadással; a 0 elem rendelődik az identitás permutációhoz, az 1 elem az (123) permutációhoz, a 2 elem pedig az (132) permutációhoz. Például 1 + 1 = 2 megfelel a (123)(123)=(132) kifejezésnek a permutációcsoportban.
Z4 = {0,1,2,3} a modulo 4 összeadással; az elemek rendre az id, (1234), (13)(24), (1432) permutációknak felelnek meg.
A Klein-féle négyes csoport {e, a, b, c} elemeihez rendre az id, (12)(34), (13)(24) és (14)(23) permutációk tartoznak.
Az S3 (hatodrendű diédercsoport) egy háromelemű halmaz összes permutációjának a csoportja, de izomorf a 6 elem egy permutációcsoportjával is.
| * | e | a | b | c | d | f | permutáció |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f | e |
| a | a | e | d | f | b | c | (12)(35)(46) |
| b | b | f | e | d | c | a | (13)(26)(45) |
| c | c | d | f | e | a | b | (14)(25)(36) |
| d | d | c | a | b | f | e | (156)(243) |
| f | f | b | c | a | e | d | (165)(234) |
Lásd még
szerkesztés- Joneda-lemma, Cayley tételének általánosítása a kategóriaelmélet segítségével
Jegyzetek
szerkesztés- ↑ Burnside, William (1911). „Theory of Groups of Finite Order”, Cambridge.
- ↑ Jordan, Camille (1870). „Traite des substitutions et des equations algebriques”, Paris, Kiadó: Gauther-Villars.
- ↑ Nummela, Eric (1980). „Cayley's Theorem for Topological Groups”. American Mathematical Monthly 87 (3), 202-203. o.
- ↑ Cayley, Arthur (1854). „On the theory of groups as depending on the symbolic equation θn=1”. Phil. Mag. 7 (4), 40-47. o.
Fordítás
szerkesztés- Ez a szócikk részben vagy egészben a Cayley theorem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
