Főmenü megnyitása

Függvények relációalgebrája

(Függvénykompozíció szócikkből átirányítva)

Minthogy a matematika sztenderdnek tekinthető, halmazelméleti felépítésében a függvények speciális relációk, ezért a függvényekre is értelmezhetőek mindazon relációalgebrai tulajdonságok, melyek a relációk vizsgálata, osztályzása során fontossággal bírnak.

Alapvető kérdés, hogy a függvényekkel végzett relációoperációk milyen feltételek mellett őrzik meg a reláció egyértelműségét, azaz függvény voltát. Ezen felül általában problémának számít az, hogy ha egy függvény rendelkezik valamilyen, a relációkalkulus által vizsgálható tulajdonsággal, az hogyan őrződik meg (vagy épp veszik el) a függvénnyel végzett valamilyen relációoperáció során.

Függvények relációalgebrai tulajdonságaiSzerkesztés

Injektív függvénySzerkesztés

Azt mondjuk, hogy az f :A   B függvény injektív, ha különbözőkhöz különbözőket rendel, azaz

  vagy másként:
 

Ekkor még azt is mondjuk, hogy f injekció A-ból B-be, illetve néha, hogy f kölcsönösen egyértelmű vagy egy-egy értelmű.

Az injektív tulajdonság az alapja számos egyenlet szokásos megoldási módjának. Például:

 
 
 

nem 1, pozitív a esetén vagy

 
 
 

szintén nem 1, pozitív a esetén.

Az injektív függvények relációinverze szintén függvény (illetve függvényszerű).

Egy f :A   B függvény pontosan akkor injektív, ha van balinverze.

Szürjektív függvénySzerkesztés

Azt mondjuk, hogy az f: A   B függvény szürjekció A és B között, vagy ráképez B-re, ha B minden eleme előáll az A halmaz valamely elemének f általi képeként, azaz:

 

Ha a függvény az (A, B, f) algebrai szemléletű definíció szerint van definiálva, akkor még azt is mondják, hogy szürjektív. Ez a megfogalmazás a halmazelméleti definíció esetén értelmetlen, mert ekkor nincs kijelölve az a halmaz, amelyre f ráképez.

Röviden mindez azt jelenti, hogy B = Ran(f). Szokás még használni az f:A  B ráképez H-ra kijelentést is arra az esetre, ha H ⊆ Ran(f).

Egy f:A  B függvénynek pontosan akkor van B  A típusú jobbinverze, ha f ráképez B-re.

Bijektív függvénySzerkesztés

Az f:A  B függvényről azt mondjuk, hogy bijekció A-ból B-be, ha injektív és ráképez B-re. Sokszor az ilyen függvényre mondják, hogy kölcsönösen egyértelmű vagy egy-egy értelmű annak ellenére, hogy az injektív függvényeket is így nevezik.

Ha a függvény az (A, B, f) algebrai szemléletű definíció szerint van definiálva, akkor az előbbi esetben még azt is mondják, hogy bijektív. Ez a megfogalmazás a halmazelméleti definíció esetén értelmetlen, mert ekkor nincs kijelölve az a halmaz, amelyre f ráképez.

FüggvényműveletekSzerkesztés

Függvényszorzás vagy függvénykompozícióSzerkesztés

A függvények körében értelmezett művelet az függvénykompozíció, avagy az összetett vagy közvetett függvény képzése. Ha g : A   B és f : C   D két függvény, akkor ezeknek kompozíciója az a függvény, melynek értelmezési tartománya az A azon elemeiből áll, melyeket a g az f értelmezési tartományába képezi és melynek hozzárendelési utasítása:

 

Itt g-t a kompozíció belső függvényének, az f-et a külső függvényének nevezzük.

Az g : A   B és f : C   D függvények f o g kompozíciójának értelmezési tartománya tehát:

 

Néha a kompozíció definíciójában kikötik, hogy ez ne legyen üres, amit biztosíthatunk azzal a megkötéssel, hogy se A, se Ran(g) ∩ C ne legyen üres. Abban a speciális esetben, amikor g értékkészlete része C-nek, a kompozíció a teljes A halmazon értelmezve van, tehát f o g egy A   D függvény. Ha ezen kívül B = C és g és f is szürjekció (értsd: g ráképez B-re, f ráképez D-re), akkor f o g is szürjekció.

A függvénykompozíció művelete asszociatív:

 

IdentitásfüggvénySzerkesztés

Minden H halmaz esetén van egy kitüntetett jelentőségű függvény, mely H-n értelmezett és H-ra képez, az

 

függvény, melyet a H-n értelmezett identitásfüggvénynek nevezünk. Minden f : A   B függvényre

  és  

InverzSzerkesztés

Ha egy f: A   B bijekció A és B között (különbözőkhöz különbözőket rendel és ráképez B-re), akkor létezik inverze, azaz egyetlen olyan f−1 függvény, melyre:

  és  

Itt idA az identitás leképezés, tehát az A   A; x   x függvény.

Néhány tulajdonság:

 
 

feltéve, hogy a fenti egyenlőségek mindkét oldala értelmezett.