Főmenü megnyitása
Körevolvens

Egy görbe evolvense egy sima görbe, melyet úgy kapunk, hogy a görbére felcsévélünk egy fonalat, majd mindig feszesen tartva lecsévéljük róla. Végpontjának pályája a görbe evolvensét írja le. Az evolvens olyan ruletta, amelynél a legördülő elem egyenes, melynek egy adott pontja generálja az evolvenst.

Analitikailag: ha a függvény a görbe természetes parametrikus alakja (vagyis minden s-re), akkor

az evolvens parametrikus alakja:

Egy parametrikus egyenleteivel definiált görbe evolvensének egyenletei:



PéldákSzerkesztés

KörevolvensSzerkesztés

 
Körevolvens
A – alappont, a – alapkör, e – evolvens, i = ρ – ív, t – érintő, v – vezérsugár, ρ – görbületi sugár – lefejtő sugár

A kör evolvense egy spirális görbe. Derékszögű koordináta-rendszerben a görbe egyenletrendszere:

 
 

Ahol t a szög és a a kör sugara.

A körevolvens ívhossza:

 

A görbületi kör sugara:

 

Az APO szektor területe:

 

Az x tengelyt a görbe az   abszcisszánál metszi, ahol   a   egyenlet gyöke.[1]

A körevolvensnek nagy jelentősége van a fogaskerekes hajtóműveknél: a jelenleg gyártott fogaskerekek túlnyomó részénél evolvens fogazatot használnak. A fogaskerék geometriai számításainál az alábbi egyenleteket használják:

 
 

ahol az egyes jelölések az ábra szerintiek. Itt ra az alapkör sugara, α a lefejtőszög, inv α pedig az evolvensszög.[2]

Láncgörbe evolvenseSzerkesztés

A láncgörbe csúcspontjából kiinduló evolvense egy traktrix. Derékszögű koordinátákkal kifejezve a görbe egyenlete:

 
 

ahol t a szög, sech pedig a szekánshiperbolikus (1/cosh(x)) függvény.

Deriváltja:

Mivel   írhatjuk, hogy   és

 

behelyettesítve   kifejezést:  

Ciklois evolvenseSzerkesztés

A ciklois egyik evolvense egy kongruens ciklois. Derékszögű koordinátákat alkalmazva a görbe egyenletrendszere:

 
 

ahol t a szög és a sugár.

EvolútaSzerkesztés

Egy síkgörbe görbületi középpontjainak mértani helyét a görbe evolútájának nevezik. Ez egyben a görbe normálisainak burkológörbéje is. Ha a   görbe a   görbének evolútája, akkor   a   görbének evolvense. Adott evolútához végtelen sok görbéből álló evolvenssereg tartozik, ezek a lefejtő fonál eredeti hosszában különböznek egymástól.[3] Adott alapkörhöz tartozó körevolvensek egybevágóak.

Lásd mégSzerkesztés

Külső hivatkozásokSzerkesztés

A Wikimédia Commons tartalmaz Evolvens témájú médiaállományokat.

ForrásSzerkesztés

  1. Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
  2. Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 3. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
  3. J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091