Faktorizáció

A faktorizáció azt a folyamatot jelöli, amely során egy objektumot (például egész számok faktorizációja, polinomok faktorizációja, mátrixok faktorizációja) nála valamilyen szempontból „kisebb” elemek szorzatára bontunk. Például a 15 természetes szám faktorizációja a természetes számok feletti prímelemek szorzatára: 3*5, míg az x²-4 polinom faktorizációja az egész számok fölötti polinomgyűrűben: (x-2)(x+2).

Az x² + cx + d polinom, ahol a + b = c és ab = d felbontható (x + a)'(x + b)-re.

A faktorizálás célja az, hogy valamit nála kisebb „elemi építőelemek” szorzatára felbontsunk. Például egész számok esetében prímszámokra, polinomok esetén irreducibilis polinomokra.

A polinom faktorizáció ellentéte a kibontás vagy beszorzás, amikor az azt alkotó polinomok összeszorzását elvégezzük.

A nagy számok prímfelbontása nehéz probléma, így ezt a tulajdonságot alkalmazzák bizonyos titkosításokban például az RSA-ban.

Egész számok

A számelmélet alaptételének megfelelően, minden 1-nél nagyobb egész szám egyértelműen felírható prímek szorzataként. A prímfelbontási algoritmus az 1-nél nagyobb egész számnak megadja a prímosztóit. Nagy számokra nem ismert hatékony prímfelbontó algoritmus.

Polinomok

Másodfokú polinomok

Bármely másodfokú komplex együtthatós polinom felírható, elsőfokú komplex együtthatós polinomok és egy konstans szorzatára, a következőképpen:

${\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=a(x-\alpha )(x-\beta )\\&=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right),\end{aligned}}$

ahol $\alpha$ és $\beta$ a polinom két gyöke. A másodfokú polinom gyökeit a másodfokú egyenlet megoldóképletével találhatjuk meg.

Az egész számok fölött faktorizálható másodfokú polinomok

Bizonyos másodfokú polinomok felbonthatóak az egész számok teste fölötti elsőfokú polinomok és egy konstans szorzatára.

Teljes négyzetek

A grafikus megjelenítése az (a + b)² = a² + 2ab + b² azonosságnak.

Teljes négyzetnek azokat a polinomokat nevezzük amelyek felírhatóak egy elsőfokú polinom négyzeteként. Ha egy polinom teljes négyzet akkor a következőképpen faktorziálható:

$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2},\,\!$

vagy

$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}.\,\!$

Négyzetek összege, különbsége

Egy másik nagyon hasznos azonosság a négyzetek különbsége:

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b),\,\!$

Ha a négyzetek nem kivonva, hanem összeadva vannak, akkor $b$ helyett helyettesítsünk $ib$-t a fenti formulába, és így kaphatjuk a következő azonosságot:

$a^{2}+b^{2}=a^{2}-(-b^{2})=a^{2}-(i^{2}b^{2})=a^{2}-(ib)^{2}=(a+bi)(a-bi).\,\!$

$4x^{2}+49$ faktorizációja például $(2x+7i)(2x-7i)$.

Egyéb polinomok faktorizációja

Két köb összege/különbsége

Két köb faktorizációjának grafikus megjelenítése, térfogatok segítségével.

Egy ismert formula köbök összegére és különbségére a következő:

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}),\,\!$

a különbségére pedig:

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).\,\!$

Két negyedik hatvány különbsége

Szintén ismert formula két negyedik hatvány különbségének kifejezésére:

$a^{4}-b^{4}=(a^{2}+b^{2})(a+b)(a-b).\,\!$

• Ez a formula levezethető a két négyzet különbségére vonatkozó formulából az a⁴-t és a b⁴-t mint a² és b² négyzeteként kezelve.

Két ötödik hatvány összege/különbsége

Szintén ismertek a következő formulák:

$a^{5}+b^{5}=(a+b)(a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4}),\,\!$

a különbségre pedig:

$a^{5}-b^{5}=(a-b)(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4}).\,\!$

(További faktorizáció is lehetséges de ekkor az együtthatók megszűnnek egészeknek lenni.)

Két n-edik hatvány összege/különbsége

A fenti különbségre vonatkozó formulákat ki lehet terjeszteni általános hatványra is a geometriai sorozat első n elemének összegére való formulával. Mivel

$x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots +x+1={\frac {x^{n}-1}{x-1}},$

így (x − 1)-el szorozva az egyenlet mindkét oldalát, megkapjuk az általános formula egy formáját. Az általánosan elterjedt formához helyettesítsünk x helyett a/b-t és mindkét oldalt szorozzuk meg bⁿ-el. Így kapjuk, hogy:

$a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+ba^{n-2}+b^{2}a^{n-3}+\ldots +b^{n-2}a+b^{n-1}).\!$

Az ehhez tartozó összegre vonatkozó formula attól, függ, hogy n páros vagy páratlan. Ha n páratlan akkor b-t −b-re cserélve a fenti formulában, azt kapjuk, hogy:

$a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-ba^{n-2}+b^{2}a^{n-3}-\ldots -b^{n-2}a+b^{n-1}).$

Ha n páros akkor két eset lehetséges:

• Ha n 2 hatvány, akkor

$a^{n}+b^{n}\!$ felbonthatatlan a valós számok körében.

• Különben legyen

$n=m\cdot 2^{k},m>1,k\neq 0\!$, ahol m páratlan.

Ekkor a kifejezés a következő alakot ölti: $a^{m\cdot 2^{k}}+b^{m\cdot 2^{k}}.\!$

Így az általános formula:

$a^{n}+b^{n}=(a^{2^{k}}+b^{2^{k}})(a^{n-2^{k}}-a^{n-2\cdot 2^{k}}b^{2^{k}}+a^{n-3\cdot 2^{k}}b^{2\cdot 2^{k}}-\ldots -a^{2^{k}}b^{n-2\cdot 2^{k}}+b^{n-2^{k}})=(a^{2^{k}}+b^{2^{k}})\sum _{i=1}^{m}a^{(m-i)2^{k}}(-b^{2^{k}})^{i-1}.\!$

Sophie Germain-féle azonosság

A Sophie Germain-féle azonosság alapján

$a^{4}+4b^{4}=(a^{2}-2ab+2b^{2})(a^{2}+2ab+2b^{2}).$

A levezetése a következő:

${\begin{aligned}a^{4}+4b^{4}&=(a^{2})^{2}+(2b^{2})^{2}\\&=(a^{2})^{2}+2(a^{2})(2b^{2})+(2b^{2})^{2}-2(a^{2})(2b^{2})\\&=(a^{2}+2b^{2})^{2}-(2ab)^{2}\\&=(a^{2}-2ab+2b^{2})(a^{2}+2ab+2b^{2}).\\\end{aligned}}$

Egyéb faktorizációs formulák

${\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+xz+yz)&=(x+y+z)^{2}\\x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz&=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-xz)\\x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}&=(x^{2}-xy+y^{2})(x^{2}+xy+y^{2})\\\end{aligned}}$

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Factorization című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

További információk

• One hundred million numbers factored on html pages.
• A page about factorization, Algebra, Factoring
• WIMS Factoris
• Wolfram Alpha can factorize too.