Faktorizáció
A faktorizáció azt a folyamatot jelöli, amely során egy objektumot (például egész számok faktorizációja, polinomok faktorizációja, mátrixok faktorizációja) nála valamilyen szempontból „kisebb” elemek szorzatára bontunk. Például a 15 természetes szám faktorizációja a természetes számok feletti prímelemek szorzatára: 3 * 5, míg az x2 − 4 polinom faktorizációja az egész számok fölötti polinomgyűrűben: (x − 2)(x + 2).

A faktorizálás célja az, hogy valamit nála kisebb „elemi építőelemek” szorzatára felbontsunk. Például egész számok esetében prímszámokra, polinomok esetén irreducibilis polinomokra.
A polinomfaktorizáció ellentéte a kibontás vagy beszorzás, amikor az azt alkotó polinomok összeszorzását elvégezzük.
A nagy számok prímfelbontása nehéz probléma, így ezt a tulajdonságot alkalmazzák bizonyos titkosításokban, például az RSA-ban.
Egész számok
szerkesztésA számelmélet alaptételének megfelelően, minden 1-nél nagyobb egész szám egyértelműen felírható prímek szorzataként. A prímfelbontási algoritmus az 1-nél nagyobb egész számnak megadja a prímosztóit.[1] Nagy számokra nem ismert hatékony prímfelbontó algoritmus.
Polinomok
szerkesztésMásodfokú polinomok
szerkesztésBármely másodfokú komplex együtthatós polinom felírható elsőfokú komplex együtthatós polinomok és egy konstans szorzatára, a következőképpen:
ahol és a polinom két gyöke. A másodfokú polinom gyökeit a másodfokú egyenlet megoldóképletével találhatjuk meg.
Az egész számok fölött faktorizálható másodfokú polinomok
szerkesztésBizonyos másodfokú polinomok felbonthatóak az egész számok teste fölötti elsőfokú polinomok és egy konstans szorzatára.
Teljes négyzetek
szerkesztésTeljes négyzetnek azokat a polinomokat nevezzük, amelyek felírhatóak egy elsőfokú polinom négyzeteként. Ha egy polinom teljes négyzet, akkor a következőképpen faktorizálható:
vagy
Négyzetek összege, különbsége
szerkesztésEgy másik nagyon hasznos azonosság a négyzetek különbsége:
Ha a négyzetek nem kivonva, hanem összeadva vannak, akkor helyett helyettesítsünk -t a fenti formulába, és így kaphatjuk a következő azonosságot:
faktorizációja például .
Egyéb polinomok faktorizációja
szerkesztésKét köb összege/különbsége
szerkesztésEgy ismert formula köbök összegére a következő:
a különbségükre pedig:
Két negyedik hatvány különbsége
szerkesztésSzintén ismert formula két negyedik hatvány különbségének kifejezésére:
Ez a formula levezethető a két négyzet különbségére vonatkozó formulából az a4-t és a b4-t a2 és b2 négyzeteként kezelve.
Két ötödik hatvány összege/különbsége
szerkesztésSzintén ismertek a következő formulák:
a különbségre pedig:
(További faktorizáció is lehetséges, de ekkor az együtthatók megszűnnek egészeknek lenni.)
Két n-edik hatvány összege/különbsége
szerkesztésA fenti különbségre vonatkozó formulákat ki lehet terjeszteni általános hatványra is a geometriai sorozat első n elemének összegére való formulával. Mivel
így (x − 1)-el szorozva az egyenlet mindkét oldalát, megkapjuk az általános formula egy formáját. Az általánosan elterjedt formához helyettesítsünk x helyett a/b-t, és mindkét oldalt szorozzuk meg bn-nel. Így kapjuk, hogy:
Az ehhez tartozó összegre vonatkozó képlet attól függ, hogy n páros vagy páratlan. Ha n páratlan, akkor b-t −b-re cserélve a fenti formulában, azt kapjuk, hogy:
Ha n páros, akkor két eset lehetséges:
- Ha n 2 hatványa, akkor
- felbonthatatlan a valós számok körében.
- Különben legyen
- , ahol m páratlan.
- Ekkor a kifejezés a következő alakot ölti:
- Így az általános formula:
Sophie Germain-féle azonosság
szerkesztésA Sophie Germain-féle azonosság[2] alapján
A levezetése a következő:
Egyéb faktorizációs formulák
szerkesztésMátrixok
szerkesztésFordítás
szerkesztésEz a szócikk részben vagy egészben a Factorization című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Források
szerkesztés- ↑ An Introduction to the Theory of Numbers, 5th, Oxford Science Publications (1980). ISBN 978-0198531715
- ↑ Sophie Germain Identity (angol nyelven). Art of Problem Solving Wiki. [2018. augusztus 16-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2018. augusztus 16.)