Faktorizáció
A faktorizáció azt a folyamatot jelöli, amely során egy objektumot (például egész számok faktorizációja, polinomok faktorizációja, mátrixok faktorizációja) nála valamilyen szempontból „kisebb” elemek szorzatára bontunk. Például a 15 természetes szám faktorizációja a természetes számok feletti prímelemek szorzatára: 3*5, míg az x2-4 polinom faktorizációja az egész számok fölötti polinomgyűrűben: (x-2)(x+2).

A faktorizálás célja az, hogy valamit nála kisebb „elemi építőelemek” szorzatára felbontsunk. Például egész számok esetében prímszámokra, polinomok esetén irreducibilis polinomokra.
A polinom faktorizáció ellentéte a kibontás vagy beszorzás, amikor az azt alkotó polinomok összeszorzását elvégezzük.
A nagy számok prímfelbontása nehéz probléma, így ezt a tulajdonságot alkalmazzák bizonyos titkosításokban például az RSA-ban.
Egész számok Szerkesztés
A számelmélet alaptételének megfelelően, minden 1-nél nagyobb egész szám egyértelműen felírható prímek szorzataként. A prímfelbontási algoritmus az 1-nél nagyobb egész számnak megadja a prímosztóit.[1] Nagy számokra nem ismert hatékony prímfelbontó algoritmus.
Polinomok Szerkesztés
Másodfokú polinomok Szerkesztés
Bármely másodfokú komplex együtthatós polinom felírható, elsőfokú komplex együtthatós polinomok és egy konstans szorzatára, a következőképpen:
ahol és a polinom két gyöke. A másodfokú polinom gyökeit a másodfokú egyenlet megoldóképletével találhatjuk meg.
Az egész számok fölött faktorizálható másodfokú polinomok Szerkesztés
Bizonyos másodfokú polinomok felbonthatóak az egész számok teste fölötti elsőfokú polinomok és egy konstans szorzatára.
Teljes négyzetek Szerkesztés
Teljes négyzetnek azokat a polinomokat nevezzük amelyek felírhatóak egy elsőfokú polinom négyzeteként. Ha egy polinom teljes négyzet akkor a következőképpen faktorziálható:
vagy
Négyzetek összege, különbsége Szerkesztés
Egy másik nagyon hasznos azonosság a négyzetek különbsége:
Ha a négyzetek nem kivonva, hanem összeadva vannak, akkor helyett helyettesítsünk -t a fenti formulába, és így kaphatjuk a következő azonosságot:
faktorizációja például .
Egyéb polinomok faktorizációja Szerkesztés
Két köb összege/különbsége Szerkesztés
Egy ismert formula köbök összegére és különbségére a következő:
a különbségére pedig:
Két negyedik hatvány különbsége Szerkesztés
Szintén ismert formula két negyedik hatvány különbségének kifejezésére:
- Ez a formula levezethető a két négyzet különbségére vonatkozó formulából az a4-t és a b4-t mint a2 és b2 négyzeteként kezelve.
Két ötödik hatvány összege/különbsége Szerkesztés
Szintén ismertek a következő formulák:
a különbségre pedig:
(További faktorizáció is lehetséges de ekkor az együtthatók megszűnnek egészeknek lenni.)
Két n-edik hatvány összege/különbsége Szerkesztés
A fenti különbségre vonatkozó formulákat ki lehet terjeszteni általános hatványra is a geometriai sorozat első n elemének összegére való formulával. Mivel
így (x − 1)-el szorozva az egyenlet mindkét oldalát, megkapjuk az általános formula egy formáját. Az általánosan elterjedt formához helyettesítsünk x helyett a/b-t és mindkét oldalt szorozzuk meg bn-el. Így kapjuk, hogy:
Az ehhez tartozó összegre vonatkozó formula attól, függ, hogy n páros vagy páratlan. Ha n páratlan akkor b-t −b-re cserélve a fenti formulában, azt kapjuk, hogy:
Ha n páros akkor két eset lehetséges:
- Ha n 2 hatvány, akkor
- felbonthatatlan a valós számok körében.
- Különben legyen
- , ahol m páratlan.
- Ekkor a kifejezés a következő alakot ölti:
- Így az általános formula:
Sophie Germain-féle azonosság Szerkesztés
A Sophie Germain-féle azonosság[2] alapján
A levezetése a következő:
Egyéb faktorizációs formulák Szerkesztés
Mátrixok Szerkesztés
Fordítás Szerkesztés
Ez a szócikk részben vagy egészben a Factorization című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Források Szerkesztés
- ↑ An Introduction to the Theory of Numbers, 5th, Oxford Science Publications (1980). ISBN 978-0198531715
- ↑ Sophie Germain Identity (angol nyelven). Art of Problem Solving Wiki. [2018. augusztus 16-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2018. augusztus 16.)