Négyzetek különbsége

A matematikában a négyzetek különbsége olyan kifejezés, amelyben egy kifejezés négyzetéből egy másik kifejezés négyzete kerül kivonásra. Minden ilyen kifejezés a következő elemi algebrai azonosság alapján szorzattá alakítható:

.

BizonyításSzerkesztés

AlgebraiSzerkesztés

Az azonosság bizonyítása rendkívül egyszerű. A zárójel felbontása után a következőt kapjuk:

 .

A szorzás kommutativitása miatt a középső tagok kiesnek:

 ,

és marad az, hogy

 .

Ezen azonosság az egyik leggyakrabban használt a matematikában. Például egyszerűen bizonyítható segítségével a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség két változó esetén.

A bizonyításból látható, hogy az azonosság bármilyen kommutatív gyűrűben igaz. Ennek megfordítása is igaz, ha egy gyűrű minden elemére igaz az azonosság, akkor a gyűrű kommutatív. Ennek bizonyítása az, hogyha minden a és b elemre fennáll, hogy

 ,

akkor az csak úgy lehetséges, ha

 ,

amely alapján a gyűrű kommutatív.

GeometriaiSzerkesztés

A négyzetek különbsége geometriailag is illusztrálható két síkbeli négyzet területével. A képen a sötét rész szimbolizálja a két négyzet területének különbségét (azaz  ). Ez a terület azonban kifejezhető két téglalap területeinek összegeként is, amelyből következik, hogy  .

Egy másik geometriai bizonyítás a következő: az alsó ábra első képen látható állapottal kezdünk, egy nagyobb négyzet, amelyből egy kisebb négyzet ki lett vágva. A nagy négyzet oldalhossza a, a kivágott négyzet oldalhossza b. A sötét rész területe  . Egy vágás felbonthatjuk két téglalapra az ábrát, ahogy a második képen látható. A nagyobb rész szélessége a, magassága a-b. A kisebb rész szélessége a-b, magassága b. A kisebb területet forgatás után a nagyobb terület oldalához illeszthetjük. Az utolsó képen látható ez az elrendezés, amelyben egy két terület együtt egy téglalapot alkot. Ezen téglalap területe  . Mivel ezen téglalap az eredeti állapot átrendezésével keletkezett, a két területnek ugyanannyinak kell lennie. Tehát  .

 

AlkalmazásSzerkesztés

Polinomok szorzattá alakítás és egyszerűsítésSzerkesztés

Az azonosságot nagyon gyakran lehet polinomok szorzattá alakításához használni, például a   kifejezés a következőképpen bontható kifejezések szorzatára:

 .

A némileg bonyolultabb   esetében is hasonlóan járhatunk el:

 .

Továbbá kifejezések egyszerűsítésére is remekül alkalmazható az azonosság:

 .

Négyzetek összege komplex számokkalSzerkesztés

A négyzetek különbségére vonatkozó azonosságot felhasználhatjuk négyzetek összegének szorzattá alakításához komplex számok segítségével.

Például, a   szorzattá alakítását a következőképpen végezhetjük el:

 
  (mivel  )
 
 

Nevező gyöktelenítéseSzerkesztés

Az azonosság segítségével az irracionális nevezőket átalakíthatjuk racionálissá, amellyel megkönnyíthetjük a további algebrai átalakításokat.

Például, ha a   tört nevezőjét szeretnénk gyökteleníteni, akkor a következőképpen járhatunk el:

 
 
 
 
 
 .

FejszámolásSzerkesztés

A fejszámolás is meggyorsítható, ha ismerjük az azonosságot. Ha két számot szeretnék összeszorozni, amelyeknek átlaga könnyen négyzetre emelhető, akkor érdemes alkalmazni.

Például, a   esetében a következőt tehetjük:

 .

Egymást követő négyzetszámok különbségeSzerkesztés

 

Azaz két egymást követő négyzetszám különbsége mindig páratlan. Hasonlóan számítható két tetszőleges négyzetszám különbsége is:

 

Ebből következik, hogy két páros négyzetszám különbsége mindig osztható néggyel, és két páratlan négyzetszám különbsége mindig 8 többszöröse.

ÁltalánosításSzerkesztés

Két n-edik hatvány különbségeSzerkesztés

Az azonosság tetszőleges pozitív egész kitevőre általánosítható. Ha a és b egy kommutatív gyűrű elemei, akkor

 .

FordításSzerkesztés