Faktorizációs tétel

matematikai állítás

A polinomfaktorizációs tétel az algebra egy tétele, amely a polinommaradék-tétel egy speciális esete.[1]

A faktorizációs tétel azt állítja, hogy az polinomnak akkor és csak akkor osztója , ha (vagyis ha egy gyöke az polinomnak).[2]

Polinomok faktorizációja szerkesztés

A tételt leggyakrabban polinomok faktorizációjánál és algebrai egyenletek megoldásánál alkalmazzák (mivel ezek a problémák lényegében ekvivalensek).

A tételt úgy alkalmazzák, hogy az ismert gyökökhöz tartozó gyöktényezőket „kiemelik”, így egy alacsonyabb fokú polinomot kell felbontani a többi gyök megtalálása érdekében (amely vélhetőleg könnyebb). A módszer leírható így:[3]

  1. „Tippelgetéssel” vagy valamilyen más módon keressük meg az   polinom egy gyökét,  -t. (A valóságban általában ez a feladat nagyon nehéz, de a tankönyvi példák gyakran úgy készülnek, hogy ez a lépés könnyen megoldható legyen.)
  2. A fenti tételt felhasználva állapítsuk meg, hogy   osztója  -nek.
  3. Számítsuk ki a   polinomot például polinomosztással.
  4. Vegyük észre, hogy   bármely   megoldása, megoldása a   egyenletnek. Mivel a   polinom foka eggyel kisebb mint,  -é, így a hátralévő megoldások megtalálását a kisebb fokú   polinom gyökeinek megtalálására redukáltuk.

Példa szerkesztés

Faktorizáljuk a

 

polinomot. Ahhoz, hogy elinduljuk kezdésnek például próbálgatással megkeressük az első olyan x értéket amire a kifejezés helyettesítési értéke 0 (vagyis gyöke a polinomnak). Például ahhoz, hogy megtudjuk, hogy a fenti polinomnak   a faktora-e (vagyis hogy maradék nélküli osztója-e),  -et helyettesítünk a fenti polinomba:

 
 
 

Mivel a helyettesítési érték 18 és nem 0 ez azt jelenti, hogy   nem faktora az  -nek. Legyen a következő kísérletünk az   (vagyis helyettesítsünk  -et a polinomba):

 

Mivel az eredmény most  , így  , vagyis  , osztója a polinomnak,   pedig egy gyöke a   polinomnak.

A másik két gyököt megtalálhatjuk ha   elosztjuk polinomosztással  -gyel és az így kapott másodfokú polinom gyökeit direkt módon (a másodfokú egyenlet megoldóképletével) megkeressük.

 

így   és   osztói a   polinomnak.

Általánosan szerkesztés

Legyen   egy egyváltozós polinom úgy, hogy az együtthatói egy   kommutatív gyűrűből származnak és legyen  . Ekkor   akkor és csak akkor, ha   valamely   polinomra.

Ha adott egy   polinom és minden gyökét meg kívánjuk találni és adott   akkor   kiszámítható polinomosztással, majd   további gyökeit   faktorizációjával kaphatjuk meg.

Fordítás szerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Factor theorem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források szerkesztés

  1. Sullivan, Michael (1996), Algebra and Trigonometry, Prentice Hall, p. 381, ISBN 0-13-370149-2
  2. Sehgal, V K & Gupta, Sonal, Longman ICSE Mathematics Class 10, Dorling Kindersley (India), p. 119, ISBN 978-81-317-2816-1
  3. Bansal, R. K., Comprehensive Mathematics IX, Laxmi Publications, p. 142, ISBN 81-7008-629-9.