Fejszámolási módszerek

(Fejszámolás szócikkből átirányítva)

A fejszámolás szó szerint értendő fogalom, jelentése fejben számolni. Az alábbi cikkben különböző hasznos és érdekes trükkök találhatók, melyek által nem csak leegyszerűsíthetjük a fejben való számításainkat, hanem biztos tudásra is szert tehetünk vele. Hogyan kell két-háromjegyű számokat fejben négyzetre, köbre emelni? Háromjegyű számokat összeszorozni, osztani és gyököt vonni belőlük?

Mindenki képes rá, hiszen a fejszámolás nem veleszületett képesség. Mindenki képes határok nélkül fejleszteni a memóriáját, logikáját és matematikai készségét. Egy idő után a sok gyakorlás miatt az ember képes ráérezni egyre gyorsabban a matematikai műveletek könnyebb útjára, így egyre gyorsabban jut majd el majd a végeredményhez is.

A fejszámolás titkainak értékéből nem von le az, ha tudják, hogyan működik. Mikor a számtan megy, akkor nem akadunk el magával a számolással, és a számok csodálatos természetére. A fejszámolás elsajátításával a racionális számok olyan gyorsan eszedbe jutnak majd, hogy a fejedben kicsit több hely marad azon gondolkodni, miért működik így a világ, és rájössz arra, hogy a természetben mindennek megvan a végeredménye'” – Bill Nye

Szorzás 11-gyelSzerkesztés

Kétjegyű számok szorzásaSzerkesztés

Könnyen észrevehető egy érdekes szabályosság kétjegyű számok és 11 szorzása esetén. Főleg, ha nincs benne 10-es átlépés. Nézzük meg egy példán, miről is van szó:

 

A szabály, hogy adjuk össze a szám számjegyeit, és írjuk be a két szám közé.

 

Az eredmény 594, mert

 

A következő, a tízes átlépés. Mi történik a következő szorzásnál?

 

Ugyanúgy összeadjuk a számjegyeket.

 

Mivel tízes átlépés történt, az 1-et hozzáadjuk a szám első jegyéhez, és a 3-ast pedig beírjuk a két szám közé, ahogy eddig csináltuk. Tehát a szorzás így néz ki:

 
 

Háromjegyű számok szorzásaSzerkesztés

Ha háromjegyű számot szorzunk 11-gyel, össze kell adni az első és a középső számjegyet, a középső és az utolsó számjegyet, majd be kell írni őket az első és az utolsó számjegy közé. Például:

 

Ha tízes átlépés történik:

 

Ugyanúgy összeadjuk a számjegyeket, mint az előző példában.

  és  

Először 1-et hozzáadunk a 9-hez az első tízes átlépés miatt és leírjuk mellé a 7-est. Ezután nézzük a 15-öt. Mivel itt is tízes átlépés van, 1-et hozzá kell adnunk az előző számjegyhez, a 7-hez, utána pedig leírhatjuk az 5-öst, majd végére a 7-est.

 
 

Természetesen a módszer többjegyű számokra is működik.

 
 
 
 

A módszer helyessége azonossággal belátható:

Ha  , akkor

 

Négyzetre emelésSzerkesztés

5-re végződő számokSzerkesztés

Amikor egy szám 5-ösre végződik, akkor egy egyszerű szabály alapján rögtön kiszámolhatjuk a négyzetét. Vegyünk egy kétjegyű számot:

 

Vegyük az első számjegyet, szorozzuk meg a nála 1-gyel nagyobb számmal, majd írjuk oda a végére a 25-öt.

 

A 100-zal való szorzás csak formailag szükséges, mert a 72 két helyiértékkel előrébb van mint a 25.

A tétel könnyen bizonyítható:

Ha  , akkor

 

Egy különleges esetSzerkesztés

Tegyük fel, hogy két olyan kétjegyű számot szorzunk össze, melyeknek első számjegye megegyezik, második számjegyeik összege pedig 10. Ilyenkor az első számjegyet megszorozzuk a nála 1-gyel nagyobb számmal, ezt leírjuk, majd a végére az egyes helyiértékeken álló számjegyek szorzatát tesszük.

 
 

A módszer helyessége azonossággal belátható:

Ha  , akkor

 

Négyzetre emelés általánosanSzerkesztés

Vegyünk egy kétjegyű számot. Legyen ez a 67. A 67-et kerekítjük tízes helyiértékre, így lesz belőle 70. Mivel 3-mal tértünk el, ezért a 67-ből levonjuk a 3-at. Így kaptunk két számot: A 70-et és a 64-et. Szorozzuk össze őket és adjuk hozzá az eredeti szám és a kerekített szám különbségének négyzetét.

 

A magyarázat a következő algebrai összefüggés:

 

ÖsszeadásSzerkesztés

Kétjegyű számokSzerkesztés

Három- és többjegyű számokSzerkesztés

Kivonós módszerSzerkesztés

KivonásSzerkesztés

Kétjegyű számokSzerkesztés

Három- és többjegyű számokSzerkesztés

KomplementerekSzerkesztés

SzorzásSzerkesztés

Egyjegyű számok szorzása többjegyűvelSzerkesztés

Többjegyű számok szorzása többjegyűvelSzerkesztés

Komplementerek használataSzerkesztés

OsztásSzerkesztés

GyökvonásSzerkesztés

ÉrdekességekSzerkesztés

Kamatos kamat, adójárulék stb.Szerkesztés

A fejszámolás történeteSzerkesztés

Fejszámoló művészekSzerkesztés

Lásd mégSzerkesztés

IrodalomjegyzékSzerkesztés

  • Arthur Benjamin & Michael Shermer: Fejszámolás, Partvonal Kiadó, 2006

Külső hivatkozásokSzerkesztés