Főmenü megnyitása

Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker-metrika

A Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker-metrika (FLRW) az Einstein-egyenletek egy egzakt megoldása az általános relativitáselméletben.

Időtől és helytől függően több más néven is nevezték ezt a metrikát a négy független felfedezőjéről; Alexander Friedmann, Georges Lemaître, Howard Percy Robertson és Arthur Geoffrey Walker – néhány példa: Friedmann–Robertson–Walker- (FRW) vagy Robertson–Walker- (RW) vagy Friedmann–Lemaître-metrika (FL). Ezt az Univerzum megoldást szokás Standard Modellnek is nevezni a kozmológiában.

Az általános metrikaSzerkesztés

Az FLRW metrika homogén és izotrop térből indul ki. Ezeket a feltételeket kielégítő általános metrika az alábbi:

 

ahol   a 3 dimenziós tér általános metrikája, ez lehet, elliptikus, euklideszi, vagy hiperbolikus.   nem függ t-től, az időtől való függés kizárólag az a(t) függvényben szerepel, melyet szokás "skála faktornak" vagy "skála függvénynek" nevezni.

Polár koordináták esetén a térszerű rész a következő alakú

 

hyperbolikus koordináták esetén

 

ahol

 

itt k egy dimenziotlan szám, amely lehet {−1,0,+1}.

A k = 0 esetben a tér sík és így a 3 dimenziós rész a következő egyszerű alakú lesz

 

Ez kiterjeszthető a k ≠ 0 esetre is a következően

 ,
 , és
 ,

ahol r a radiális koordinátának tekinthető.

A megoldásSzerkesztés

Az Einstein-egyenletek általános alakja az alábbi

 

Ha az energia-impulzus tenzorról (hasonlóan a térhez) feltesszük, hogy homogén és izotrop, akkor a következő ún. Friedmann-egyenleteket kapjuk:

 
 

itt k az előző részben tárgyalt dimenziótlan állandó {−1,0,+1}.

Megmutatható, hogy az egyenletek ekvivalensen átalakíthatók az alábbi alakba

 
 

A kozmológiai konstansSzerkesztés

A kozmológiai konstans a következő helyettesítéssel kiküszöbölhető

 
 

Tehát a kozmológiai állandó magyarázható úgy mint egyfajta energia, amelynek negatív a nyomása (de az energia sűrűsége pozitív):

 

Az ilyen alakban felírt kozmológiai állandót szokták sötét energiának nevezni.

Ahhoz, hogy a Világegyetem gyorsuló tágulását okozza elég feltenni, hogy

 

Newtoni közelítésSzerkesztés

A Friedmann egyenletek newtoni közelítésben az alábbiak

 
 


A Világegyetem Einstein sugaraSzerkesztés

A Világegyetem Einstein sugara az a görbületi sugára a térnek amely az Einstein Világa, megoldásban szerepel.

 

A Friedmann egyenletek esetén az Einstein sugár  , ahol   a fénysebesség,   a Newton-i gravitációs konstans, és   a Világegyetem sűrűsége. Az Einstein sugár számértéke 1010 fényév.


További olvasásraSzerkesztés

További információkSzerkesztés