Főmenü megnyitása

A Gauss–Lucas-tétel kapcsolatot teremt egy komplex együtthatós polinom gyökei és deriváltja gyökei között.

A tétel állításaSzerkesztés

Ha   egy komplex együtthatós polinom, akkor   minden gyöke   gyökeinek konvex burkában van (a komplex számsíkon).

A tétel bizonyításaSzerkesztés

Legyen   gyöktényezős felbontása

 

ahol a különböző   gyökök multiplicitásai  . Ekkor

 

Legyen s   egy gyöke. Ha   az   gyökök valamelyike, az állítás nyilvánvaló. Tegyük fel tehát, hogy nem közülük való. A fentiek szerint

 

A nevezőket konjugáltjaikkal megszorozva az adódik, hogy

 

ahol

 

Minden   pozitív valós szám. A bal oldal tagjait konjugálva az adódik, hogy

 

.

Legyen  . Ekkor azt kapjuk, hogy

 

Ha most bevezetjük a   számokat, akkor egyrészt

 

másrészt a  -k nemnegatív valós számok amelyek összege 1, tehát   valóban benne van az  -k konvex burkában.