A Gauss-lemma egy egész együtthatós polinomokra vonatkozó állítás, amit az algebrában nemcsak a polinomok elméletében alkalmaznak.

Primitív polinomokSzerkesztés

Egy egész együtthatós polinomot primitívnek nevezünk, ha együtthatóinak legnagyobb közös osztója 1.

Például   primitív polinom.

A lemma állításaSzerkesztés

Primitív polinomok szorzata is primitív.

A lemma bizonyításaSzerkesztés

Indirekt tegyük fel, hogy a primitív   és   polinomok szorzata nem primitív. A szorzat

 

ahol

 

Van tehát olyan   prímszám, ami minden  -nak osztója. Legyen   a legkisebb index, amire   nem osztója  -nak és hasonlóan legyen   a legkisebb index, amire   nem osztója  -nek. Ekkor a   azon   tagok összege, amikre   teljesül. Ebben az összegben

minden tag osztható  -vel, amiben  ,
minden tag osztható  -vel, amiben  ,
a fennmaradó egyetlen tag,   viszont nem osztható  -vel.

Tehát   nem osztható  -vel, ellentmondás.

AlkalmazásSzerkesztés

Ha a   egész együtthatós polinom felbomlik a racionális együtthatós   és   polinomok szorzatára, akkor olyan egész együtthatós   és   polinomok szorzatára is felbontható, ahol   fokszáma megegyezik  -ével,   fokszáma pedig  -ével.

Valóban, legyen   az   nevezőinek legkisebb közös többszöröse (azaz ekkor   egész együtthatós) illetve   az   polinom együtthatóinak legnagyobb közös osztója. Ekkor  , ahol   szintén egész együtthatós polinom. Elosztva  -val  adódik. Legyen hasonlóan   a   nevezőinek legkisebb közös többszöröse és   a   együtthatóinak legnagyobb közös osztója. Ekkor hasonlóan az előzőekhez   adódik. Legnagyobb közös osztók kiemelése miatt   és   primitív polinomok. Továbbá  .

Amit tudunk még, az

 

egyenlőség.

Azt is feltehetjük, hogy  , hiszen, ha például  -nak és  -nek lenne egy   közös osztója, akkor  -t és  -t  -vel osztva ismét egyenlőséget kapunk.

Kaptuk tehát, hogy  . Felszorozva

 

adódik. Mivel   egész együtthatós,   osztja a bal oldali polinom minden együtthatóját. De  , ezért   osztja   minden együtthatóját. A Gauss-lemma miatt ez csak úgy lehet, ha  , azaz  . Ezzel készen vagyunk, hiszen   a   felbontása egész együtthatós polinomok szorzatára.