Gompertz-eloszlás

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a Gompertz-eloszlás egy folytonos valószínűségi eloszlás. Ez az eloszlás főként az időskori halálozási valószínűség modellezésre szolgál. Biztosítási matematikában, biológiai tudományokban és demográfiában a Gompertz-eloszlásnak egy általánosabb formáját is használják (Gompertz–Makeham mortalitási törvény).


TulajdonságokSzerkesztés

Valószínűség-sűrűségfüggvénySzerkesztés

A Gompertz-eloszlás valószínűség-sűrűségfüggvénye:

 

ahol   a skálaparaméter, és   az alakparaméter.

Kumulatív eloszlásfüggvénySzerkesztés

A Gompertz-eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye:

 

ahol   és  

Momentumgeneráló függvénySzerkesztés

 

ahol

 

A függvény alakjaSzerkesztés

A Gompertz-eloszlás flexibilis eloszlási függvény, ahol a görbe ferdesége jobbra és balra is elmozdulhat. A Gompertz-eloszlás függvény különböző formákat (alakzatokat) vehet fel, az alakparaméter ( ) értékétől függően:

  • Ha  , a valószínűség-sűrűségfüggvény 0 modusú.
  • Ha   a valószínűség-sűrűségfüggvény modusa
 

Kapcsolódó eloszlásokSzerkesztés

  • Ha X a Gumbel-eloszlásból eredő mintavétel eredménye, amíg Y negatív, és X=–Y, akkor X-nek Gompertz-eloszlása van.
  • A Gamma-eloszlás a Gompertz-eloszlás egy természetes konjugáltja, az ismert   skálaparaméterrel.
  • Amikor   a gamma-eloszlás szerint változik,   alakparaméterrel, és   skálaparaméterrel, akkor az   eloszlása Gamma/Gompertz.
 
Gompertz-eloszlás sűrűségfüggvény
 
Gompertz kumulatív eloszlásfüggvény

IrodalomSzerkesztés

  • Bemmaor, Albert C.; Glady, Nicolas: Implementing the Gamma/Gompertz/NBD Model in MATLAB. (hely nélkül): Cergy-Pontoise: ESSEC Business School. 2011.  
  • Sheikh, A. K.; Boah, J. K.; Younas, M: Truncated Extreme Value Model for Pipeline Reliability. (hely nélkül): Reliability Engineering and System Safety 25 (1). 1989. 1–14. o.  

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés