Háromfázisú váltakozó áramú teljesítmény mérése

A háromfázisú váltakozó áramú teljesítmény mérése elektrodinamikus műszerekkel, vagy ferrodinamikus műszerekkel történik.

A mérés menete

A háromfázisú teljesítmény $P={\sqrt {3}}\cdot U\cdot I\cdot \cos \varphi$ . A mérés menetében alapvető eltérés van, hogy a rendszer szimmetrikusan terhelt, vagy aszimmetrikus.

Háromfázisú, szimmetrikusan terhelt kétvezetékes hálózatban

A szimmetria feltétele, hogy a feszültségek, és áramok nagysága mindenben megegyezzen, valamint a csillagpontban a feszültség értéke 0 V legyen. A kétvezetékes hálózatban rendelkezésre áll egy fázisfeszültség, valamint a csillagpont nullavezetője. Ekkor nem követnek el nagy hibát, ha az egyfázisú váltakozó áramú teljesítmény mérése szerint kötik be a műszert („a” kötés), de mivel itt háromfázisú teljesítményt mérnek, feltételezik, hogy a másik két ágban ugyanakkora teljesítmény van. Így pl. 400 V-os hálózatból a műszerre csak a fázisfeszültség (jelen esetben ${\frac {400V}{\sqrt {3}}}=230V$ ) jut. A műszerre jutó teljesítmény az egy ágban $P1={\frac {U\cdot I\cdot \cos \varphi }{\sqrt {3}}}$ ). A három ágban a korábbi feltételek szerint ugyanekkora teljesítmény van. Így $P=P1+P2+P3=3\cdot P1=3\cdot {\frac {U\cdot I\cdot \cos \varphi }{\sqrt {3}}}$ (mivel ${\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {3}}=3$ , és ${\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {3}}}=1$ ) $P={\frac {{\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {3}}\cdot (U\cdot I\cdot \cos \varphi )}{\sqrt {3}}}$ egyszerűsítve, $P={\sqrt {3}}\cdot U\cdot I\cdot \cos \varphi$ . Erre az értékre skálázzák a műszert. Ez az ún. „b1” kötés.

Háromfázisú, szimmetrikusan terhelt háromvezetékes hálózatban

Háromfázisú, szimmetrikusan terhelt hálózatban használják a „b” kötést. A szimmetria miatt feltételezhető, hogy mind a három ágban azonos teljesítmény van. Így elegendő, ha egy ágban mérik a teljesítményt, és ennek háromszorosát veszik. A műszeren belül (hasonlóan a generátor oldalhoz), egy csillagpontot hoznak létre. Azt tudható, hogy a háromfázisú, szimmetrikusan terhelt hálózatban a feszültségek (és velük együtt az áramok) pontosan 120°-os szöget zárnak be. Ha a műszeren belül mind a három feszültségág egyforma ellenállású (beleértve a lengőtekercs ellenállását is!), akkor a három ágat egy csillagpontba összekötve abban a feszültség éppen 0 V lesz. Ez a 0 pont nincs összekötve (nincs kivezetve) a hálózat N vezetőjével, de ha össze lenne kötve, az semmit nem változtatna meg. A műszerre ráadnak egy I_L1 áramot, és egy U_L1, U_L2,U_L3 feszültségeket. Az előbbiek szerint a csillagpontban a feszültség éppen nulla lesz. A lengőtekercsre (az előtét ellenálláson keresztül) U_{L1-csillagpont} feszültséggel arányos áram jut. Az így mutatott teljesítmény ugyanannyi, mint az „a” kötésben, de a műszerre jutó feszültség nem a névleges feszültség, hanem annak csak √3-a! $P={\frac {U\cdot I\cdot \cos \varphi }{\sqrt {3}}}$ ! Ez az egy ágban mért teljesítmény. A három ágban a korábbi feltételek szerint ugyanekkora teljesítmény van. Így $P=P1+P2+P3=3\cdot P1=3\cdot {\frac {U\cdot I\cdot \cos \varphi }{\sqrt {3}}}$ (mivel ${\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {3}}=3$ , és ${\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {3}}}=1$ ) $P={\frac {{\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {3}}\cdot (U\cdot I\cdot \cos \varphi )}{\sqrt {3}}}$ egyszerűsítve, $P={\sqrt {3}}\cdot U\cdot I\cdot \cos \varphi$ . Ez általában nem egy kerek érték, a műszert egy kikerekített értékre skálázzák. Például 1 A 240 V esetében a teljesítmény $P={\sqrt {3}}\cdot U\cdot I\cdot \cos \varphi ={\sqrt {3}}\cdot 240V\cdot 1A\cdot 1=415,69219W$ . A műszert ilyenkor 400 W teljesítményre skálázzák, és a három tényező közül az egyik eltér a névleges értéktől. A számítás során úgy tekinthető, $P={\sqrt {3}}\cdot U\cdot 1A\cdot \cos \varphi =400W$ ebből = ${\frac {400W}{{\sqrt {3}}\cdot 1A\cdot \cos \varphi }}$ =400 W/(1,732050808×1 A×1=230,9401 V. Természetesen a napi gyakorlatban a feszültséget tekintik adottnak, és az áramot, vagy a cosφ értékét korrigálják. Több áram méréshatárú műszerek esetében célszerű a feszültség kerekítése.

Egy-, és háromfázisú, szimmetrikusan terhelt hálózatban

Elterjedt módszer az egy-, és háromfázisú műszerek egybeépítése is. Elektrodinamikus műszer kivitelben AC/DC, Ferrodinamikus műszer kivitelben AC mérésére használható. Előnye, hogy az egyfázisú előtétsorból a meglévő ellenállásokat használja a háromfázisú méréshez, így az nem kerül még egyszer beépítésre. Ez az „a-b” kötés. Az egyik lehetőség szerint az a kötés szerinti feszültséget használják, és a b kötésnél a feszültséget ennek √3 szorosára veszik. 3 mA feszültség ági fogyasztásnál (333,33 Ω/V) az értékek alakulása: (Vastagon szedve a méréshatárok.)

A számítás menete **„a”** kötésből kiindulva
U_névleges (1 fázis) V	U_névleges (3 fázis) V	U_módosított (3 fázis) V	Belső ellenállás (áganként) Ω	Előtét- ellenállás Ω	Csillagpont helyének jele
15	25,98	26	5000	5000	nincs
30	51,96	52	10 000	5000	nincs
37,5	64,95	65	12 500	2500	N1
75	129,90	130	25 000	12 500	N2
150	259,81	260	50 000	25 000	N3
225	389,71	390	75 000	25 000	N4
300	519,62	520	100 000	25 000	N5
450	779,42	780	150 000	50 000	nincs
600	1039,23	1040	200 000	50 000	nincs

A másik lehetőség, hogy a b kötés értékeit tekintik kerek értékűnek, de a valóságban a fentieknek megfelelően korrigálják. 3,333 mA feszültség ági fogyasztásnál (300 Ω/V) az értékek alakulása: (Vastagon szedve a méréshatárok.)

Teljesítmény mérő feszültségrésze egy-, és három fázisú szimmetrikus hálózathoz

A számítás menete „b” kötésből kiindulva
U_névleges (3 fázis) V	U_módosított (3 fázis) V	U_L1-csillag (1 fázis) V	Belső ellenállás (áganként) Ω	Előtét- ellenállás Ω	Csillagpont helyének jele
30	28,8675	16,67	5000	5000	N1
60	57,7350	33,33	10 000	5000	N2
90	86,6025	50,00	15 000	5000	nincs
120	115,4701	66,67	20 000	5000	N3
180	173,2051	100,00	30 000	10 000	nincs
240	230,9401	133,33	40 000	10 000	N4
360	346,4102	200,00	60 000	20 000	nincs
480	461,8802	266,67	80 000	20 000	N5
600	577,3503	333,33	100 000	20 000	N6
720	692,8203	400,00	120 000	20 000	nincs
900	866,0254	500,00	150 000	30 000	nincs
1080	1039,2305	600,00	180 000	30 000	nincs

Háromfázisú, háromvezetékes hálózatban

Háromfázisú, háromvezetékes hálózatban, vagy kétfázisú láncolt áramkör mérésére használják a „c” kötést. (Aron kapcsolás) Ha a háromfázisú rendszernek a csillagpontja nincs kivezetve, vagy (háromszögkapcsolásban) nincs csillagpontja, a teljesítményt két wattmérővel is mérhető. A mérés helyességét Hermann Aron professzor bizonyította be.

Mérés két wattmérővel

Vektorábra

Hermann Aron kapcsolások hatásos és meddő teljesítmény mérésére háromvezetékes hálózatban.

Mérés egyrendszerű, átkapcsolható wattmérővel

Az I. wattmérő áramtekercsén I_L1, feszültségtekercsén pedig az U_L3-L1 vonalfeszültséggel arányos áram folyik. Mivel az U_L1 és az U_L3-L1 között 30°Fáziskülönbség van, φ fázisszögű terhelés esetén I_L1 és U_L3-L1 közötti fáziseltolás 30°-φ. Az I. wattmérő P_I. = U_L3-L1 × I_L1 × cos (30°-φ), valamint hasonló meggondolás alapján a P_II. = U_L3-L2 × I_L2 × cos (30°+φ) teljesítményt mutat. A két kitérés összege, figyelembe véve, hogy U_L3-L1 = U_L3-L2 = U_vonali, és I_L1 = I_L2 = I_vonali, valamint, hogy cos (30°±φ) = cos φ × cos 30° ± sinφ × sin 30° és cos 30° = √3/2 így P = P_I. + P_II. = U_vonali × I_vonali × (cos (30°-φ) + cos (30°+φ)) = √3× U_vonali × I_vonali × cos φ.

A fáziseltolódás függvényében változik a két műszer kitérése:

cos φ = 1 (φ = 0) : a két wattmérő kitérése egyenlő
cos φ > 0,5 (φ < 60°): mindkét wattmérő kitérése pozitív
cos φ = 0,5 (φ = 60°): P_II. = 0, tehát a P_II. wattmérő nem tér ki
cos φ < 0,5 (φ > 60°): P_II. kitérése negatív
cos φ = 0 (φ = 90°): P_II. kitérése ugyanakkora, mint P_I. kitérése, de negatív

Mivel a negatív kitérést nem lehetne leolvasni, (4. és 5. eset) a wattmérő feszültségtekercsének kapcsait fel kell cserélni, ekkor a kitérés pozitív lesz, de az így leolvasott értéket az összegzéskor negatív előjellel kell figyelembe venni. Tehát, ha cos φ > 0,5, akkor a két wattmérő kitérését össze kell adni, ha pedig cos φ < 0,5, ki kell vonni.

A két wattmérős módszer kis cos φ mellett pontatlan. Ekkor a háromfázisú teljesítmény mint két közel egyenlő nagyságú P_I. és P_II. különbségeként adódik. A wattmérőknek a saját kitérésükhöz képesti kis hibái a P_I. - P_II. háromfázisú teljesítményre vonatkoztatva ilyenkor nagy százalékos hibát jelentenek.

Mérés többrendszerű wattmérővel.

A műszerrel két áramot mérnek. Az I_L1 áramhoz az U_L1-L2 feszültséget, míg az I_L3 áramhoz az U_L2-L3 feszültséget rendelik hozzá. Gyakorlatilag az egyik gerjesztőcséve kapja az I_L1 áramot, és az abban lévő lengőtekercs az U_L1-L2 feszültséget, míg a másik gerjesztőcséve kapja az I_L3 áramot, és az abban lévő lengő az U_L2-L3 feszültséget. Előtét az L1, és L3 ágban van. A teljesítmény itt is P=√3×U×I×cosφ.

Mérés egyrendszerű, átkapcsolható wattmérővel.

Aron-kapcsolásban egyetlen wattmérővel is megoldható a mérés.Ilyenkor átkapcsolóval egyszer az Ł1, egyszer pedig az L3 fázisba iktatják az áramtekercset. Amelyik ágban éppen nem történik mérés, azt az ágat a kapcsoló rövidre zárja, így az áramkör nem szakad meg.

Háromfázisú, négyvezetékes, egyenlőtlenül terhelt hálózatban

Mérés három wattmérővel

Háromfázisú, négyvezetékes, egyenlőtlenül terhelt hálózatban az egyenlőtlen terhelés miatt nem használhatják azt a módszert, hogy csak egy vagy két ágban mérnek teljesítményt, és feltételezik, hogy a többi ágban ugyanakkora teljesítmény van. Itt fázisonként mérik az áramokat. A három wattmérő az egyenlőtlen terhelés miatt eltérő teljesítményt mutat. Ezek összege adja a tényleges teljesítményt.

P = P1+P2+P3
Mérés kétrendszerű wattmérővel

Megtehetik, hogy azonos tengelyen három azonos mérőrendszert helyeznek el. Ezt egy „d” kötéssel valósítják meg. A gyakorlatban a közös tengelyen lévő egyik lengő a műszeren belül kialakított csillagpont miatt U_L1-N feszültséget kap. Ennek a lengőtekercsnek a gerjesztését végző gerjesztőcséve két szektorra van osztva. Egyik fele I_L1 árammal, másik fele I_L2 árammal van gerjesztve. A gerjesztésben így azok vektora jelenik meg. A másik lengő a műszeren belül kialakított csillagpont miatt U_L3-N feszültséget kap. Ennek a lengőtekercsnek a gerjesztését végző gerjesztőcséve is két szektorra van osztva. Egyik fele I_L3 árammal, másik fele I_L2 árammal van gerjesztve. Így a gerjesztésben szintén ezek vektora jelenik meg. (tulajdonképpen az I_L2 ág a két gerjesztő csévénél sorba van kötve, ügyelve az áramok irányának helyes megválasztására.) A csillagpont nincs a műszerből kivezetve, nincs összekötve a hálózat N vezetőjével, de ha össze lenne kötve, az semmit nem változtatna meg. Hiszen a csillagpontban az egyenlőtlen terhelés miatt ugyanúgy nem 0 V feszültség lesz, mint a hálózat N vezetőjében. Előtét az L1, L2, és L3 ágban van. A teljesítmény itt is P=√3×U×I×cos φ. Elmondható, hogy egyenlőtlen terhelés esetén is a „c”, és „d” típusú kötésben a műszer helyesen méri a hatásos teljesítményt.

A műszer ellenőrzése

A háromfázisú teljesítmény P=√3 × U × I ×cos φ. A helyesen elkészített műszernél ellenőrizni szükséges, hogy a mutatott teljesítmény valóban csak ettől függ. Felváltva a feszültséget, áramot, és a cos φ értékét felére csökkentve, a műszernek azonos (fele) kitérést kell mutatnia. A „c” és a „d” rendszerű műszereknél (ahol nem egy áramot mér a műszer) ellenőrizni szükséges az áramok szimmetriáját is. A műszerre felváltva csak egy mérendő áramot kapcsolnak, és minden áramnál azonos kitérést kell, hogy mutasson.

Kapcsolódó szócikkek

Források

Karsa Béla: Villamos mérőműszerek és mérések (Műszaki Könyvkiadó. 1962),
Tamás László: Analóg műszerek (Jegyzet Ganz Műszer Zrt. 2006)
IEC-EN 60051-1-9