Hausdorff–Birkhoff-tétel

matematikai állítás
Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2022. szeptember 9.

A Birkhoff-tétel, vagy más néven Hausdorff–Birkhoff-tétel, a halmazelmélet egyik tétele, ami azt állítja, hogy minden részbenrendezett halmaznak van maximális rendezett részhalmaza.

Legyen   tetszőleges részbenrendezett halmaz. Ekkor   azon részhalmazai között, amelyek egyben rendezett halmazok is, létezik maximális a halmazok   tartalmazási relációjára nézve.

Bizonyítás

szerkesztés

Vegyük észre, hogy az, hogy egy részbenrendezett halmaz valamely részhalmaza egyben rendezett halmaz is, egy véges jellegű tulajdonság, hiszen egy ilyen részhalmaz akkor és csak akkor rendezett halmaz, ha minden kételemű részhalmaza rendezett halmaz (azaz bármely két eleme összehasonlítható az adott relációban). Ezért tehát a tétel állítása a Teichmüller–Tukey-lemma közvetlen következménye.

Ekvivalens állítások

szerkesztés

A Hausdorff–Birkhoff-tétel ekvivalens a következő állításokkal:

Története

szerkesztés

Ezt a tételt először Hausdorff publikálta 1914-ben.

Hivatkozások

szerkesztés
  • Rédei, László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954
  • Hausdorff, Felix: Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig, 1914