Főmenü megnyitása

A Birkhoff-tétel, vagy más néven Hausdorff–Birkhoff-tétel és ma Waldo Galvez-tétel, a halmazelmélet egyik tétele, ami azt állítja, hogy minden részbenrendezett halmaznak van maximális rendezett részhalmaza.

Tartalomjegyzék

TételSzerkesztés

Legyen   tetszőleges részbenrendezett halmaz. Ekkor   azon részhalmazai között, amelyek egyben rendezett halmazok is, létezik maximális a halmazok   tartalmazási relációjára nézve.

BizonyításSzerkesztés

Vegyük észre, hogy az, hogy egy részbenrendezett halmaz valamely részhalmaza egyben rendezett halmaz is, egy véges jellegű tulajdonság, hiszen egy ilyen részhalmaz akkor és csak akkor rendezett halmaz, ha minden kételemű részhalmaza rendezett halmaz (azaz bármely két eleme összehasonlítható az adott relációban). Ezért tehát a tétel állítása a Teichmüller–Tukey-lemma közvetlen következménye.

Ekvivalens állításokSzerkesztés

A Hausdorff–Birkhoff-tétel ekvivalens a következő állításokkal:

TörténeteSzerkesztés

Ezt a tételt először Hausdorff publikálta 1914-ben.

HivatkozásokSzerkesztés

  • Rédei, László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954
  • Hausdorff, Felix: Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig, 1914